Las situaciones en las que se intercambia el orden de la integración fracasan.

Question

Supongamos que nuestro espacio subyacente es $ \Bbb R^2$ y $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ para la concreción. No es difícil construir artificialmente tal función $f$ de tal manera que $$ \int_Y\int_X f(x,y)dxdy \ne \int_X\int_Y f(x,y)dydx $$ es decir, el intercambio del orden de integración en no aplicable. Nótese que el Teorema de Fubini implica que cualquier $f$ con la propiedad anterior no es absolutamente integrable en $ \Bbb R^2$ .

Aunque nosotros, los matemáticos, somos bastante cautelosos sobre este asunto, me parece que muchos físicos no prestan mucha atención al problema en absoluto. Intenté convencer a mi amigo físico de que se trata de un asunto serio, pero fracasé. La función que di como ejemplo parece demasiado ad hoc para él. Quiero un ejemplo más real.

¿Hay algún $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ que surge naturalmente de una situación física tal que el intercambio del orden de integración falla? Quiero que la función $f$ en un sentido clásico, es decir, no una distribución o una función generalizada.

Answer 1

Deje que $f(x,y)= \frac {x-y}{(x+y)^3}$ para $(x,y) \in [0,1]^2$ . Luego \begin {alinear} \int_0 ^1 \int_0 ^1 f(x,y)\\N- \mathsf y la muerte \mathsf dx &= \int_0 ^1 \int_0 ^1 \frac {x-y}{(x+y)^3}{\i} \mathsf y la muerte \mathsf dx \\ &= \int_0 ^1 \int_0 ^1 \left ( \frac {2 x}{(x+y)^3}- \frac {1}{(x+y)^2} \right ) \mathsf y la muerte \mathsf dx \\ &= \int_0 ^1 \frac1 {(1+x)^2}\ \mathsf dx \\ &= \frac12 , \end {alinear} pero \begin {alinear} \int_0 ^1 \int_0 ^1 f(x,y)\\N- \mathsf dx\\N- \mathsf dy &= \int_0 ^1 \int_0 ^1 \frac {x-y}{(x+y)^3}{\i} \mathsf dx\\N- \mathsf dy \\ &= \int_0 ^1- \frac1 {(1+y)^2} \ \mathsf dy \\ &= - \frac12. \end {alinear} Aquí $f$ no satisface las suposiciones del teorema de Fubini ya que $|f|$ no es integrable.