Podemos siempre encontrar un vector?

Question

Supongamos que tenemos un número finito de $s$-dimensiones de la cuadrícula $J\subset\mathbb{Z}^{s}$ contiene $0_{s}$.

Vamos $n_{i}\in\mathbb{Z}^{s}$, $i=1,\ldots,N$ ser los vectores con la eliminación de los puntos de los puntos de la rejilla.

Podemos siempre encontrar un vector $u\in\mathbb{R}^{s}$ de manera tal que todos los productos de puntos $n_{i}\cdot u$, $i=1,\ldots, N$ son distintos?

Mi intuición me lleva a pensar que la respuesta es sí, ya que he tratado de encontrar contraejemplos en $1$ $2$ dimensiones, pero no. No he venido para arriba con una sólida prueba de aunque.

Una re-formulación del problema estaría demostrando que existe un vector $u\in\mathbb{R}^{s}$ tal que $$(n_{i}-n_{j})\cdot u\neq 0$$ for all $i\neq j$. Given that the grid contains $N$ vectors, the number of vectors $n_{i}-n_{j}$ for $i\neq j$ is $(N-1)!$.

Cualquier apunta a la dirección correcta sería bienvenida.

Answer 1

Vamos a un número finito (o incluso contables) número de pares diferentes vectores ${\bf n}_i$ ser dado. Para $i\ne j$ ha ${\bf n}_i\cdot{\bf u}={\bf n}_j\cdot{\bf u}$ fib ${\bf u}$ está acostado en la hyperplane $\>H_{ij}\!:\>({\bf n}_i-{\bf n}_j)\cdot{\bf u}=0$. Hay en la mayoría de los contables muchos prohibido hyperplanes $H_{ij}$, y estos hyperplanes no llenar todo el espacio. De ello se desprende que hay un montón de vectores ${\bf u}$ la satisfacción de sus deseos.

Answer 2

Después de un replanteamiento del problema vuelvo con una nueva proposición.

Una de las soluciones podría ser si de seleccionar los componentes de este vector a partir del conjunto de valores de las raíces cuadradas de los números primos $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots$ etc $\dots$ dejar el nombre de este conjunto $\mathbb{S}$.

A partir de esta pregunta y comentarios con enlaces proporcionados por Jyrki Lahtonen se deduce que no hay ninguna posibilidad de que cualquier vector con componentes de $\mathbb{S}$ y el vector con componentes de $\mathbb{Z}$ puede tener su producto escalar igual $0$ menos que los componentes de vector de enteros son iguales $0$.

Tenga en cuenta también que puede utilizar valores de los conjuntos que ven como, por ejemplo,$(\sqrt{3}- \sqrt{2}), (\sqrt{13}- \sqrt{11}),\dots,(\sqrt{73}- \sqrt{71}),\dots,(\sqrt{313}- \sqrt{311}) \dots $, y otras combinaciones apropiadas con coeficientes racionales. Seleccionando adecuadamente de ellos se puede obtener un vector que está muy cerca (pero no igual) a cualquier formulario predefinido, por ejemplo el vector $(1,1,1,..,1)^T$.