Por qué no hay una fórmula para $\zeta(k)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^k}$ involucran $\pi$ al $k$ es impar?

Question

Ahora sabemos que $\sum \frac{1}{n}=\text{divergent}, \sum \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, pero ahora esta de $\sum \frac{1}{n^3}=1.20....$ y de nuevo $\sum \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^2}{90}$ .Ahora, en algún lugar hay un término general al $n$ poder $2k$ donde $k$ es un entero positivo. ¿Por qué no existe una $\pi$ de la serie de los números impares como $n^3$, $n^5$?

Answer 1

En Euler solución para el problema de Basilea, que los factores de seno en un infinito producto de binomios,

$$ \frac{\sin( z)}{z} =\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right) , $$

estos binomios tenemos la agradable forma de una diferencia de cuadrados debido a que las raíces de seno son simétricas con respecto al origen. Las raíces también son separados por entero de unidades de $\pi$ que es la clave para resolver el problema.

Porque sine raíces, simétrica, podemos girar el argumento del seno en el plano complejo para obtener una diferencia de $4$'th poderes o una diferencia de $6$'th poderes y así sucesivamente. Por ejemplo, podemos escribir,

$$ \frac{\sin(z)}{z}\frac{\sin(iz)}{iz} =\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^4}{\pi^4 n^4}\right) , $$

esto, en esencia, de la siguiente manera a partir de la identidad $(1-(iz)^2)(1-z^2)=(1-z^4)$.

Si pudiéramos de alguna manera obtener una diferencia de cubos podríamos solucionar $\sum 1/n^3$ usando,

$$ \text{(Some function with a known Taylor series)}=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^3}{n^3} \right).$$

El problema es que los cubos de raíces de la unidad no son simétricos con respecto al origen. Debido a esto, no podemos utilizar el seno.

Podríamos utilizar el recíproco de la función Gamma, que tiene sus raíces sólo en los números enteros negativos,

$$ \frac{1}{\Gamma(-z)}\frac{1}{\Gamma(-e^{i2\pi/3}z)} \frac{1}{\Gamma(-e^{-2i\pi/3}z)} \ \propto \ \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^3}{n^3} \right),$$

pero por desgracia la correspondiente Taylor coeficiente sólo es conocido en términos de $\zeta(3)$ que es lo que nos gustaría descubrir.

Answer 2

SUGERENCIA:

Encontrar la serie de Fourier de expansión para $f(x)=x^{2k}$ $f(x)=x^{2k+1}$ donde$k\in \mathbb{N}$, y los resultados serán claras y evidentes por poner $x=\pi$ en las expansiones.