Comprobar la convergencia de la serie $\sum \sin [\pi(\sqrt5+2)^n]$

Question

Acabo de abordar la siguiente serie

$$\sum_{n=1}^\infty \sin [\pi(\sqrt5+2)^n]$$ Y ya tengo una pregunta. El $\lim_{n \to \infty}\pi(\sqrt5+2)^n=+\infty$ . Y el $\lim_{n\to \infty} \sin[\pi(\sqrt5+2)^n]$ no existe.

Puede $\sum a_n$ convergen si $\lim_{n\to \infty}a_n$ no existe? Supongo que la respuesta es sí porque sé que $\sum a_n$ no puede converger si $\lim_{n\to \infty}a_n\neq 0$ . ¿Estoy en lo cierto?

La segunda parte de mi pregunta se refiere a la estrategia a utilizar para comprobar la convergencia de dicha serie. Puedo probar la convergencia de las series con pruebas estándar. Pero parece que necesito desarrollar un enfoque más sofisticado para poder tratar con éxito series como ésta. Por ejemplo, en este caso, ¿debo utilizar algún tipo de expansión? Si es así, ¿qué tipo de expansión?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Como $n$ aumenta, $(2+\sqrt{5})^n$ se acerca cada vez más a un número entero, ya que: $$ (2+\sqrt{5})^n + (2-\sqrt{5})^n \in \mathbb{Z}. $$ Si $[x]$ es la distancia de $x$ del número entero más cercano, tenemos: $$ [(2+\sqrt{5})^n] = (\sqrt{5}-2)^n =\frac{1}{(2+\sqrt{5})^n}<\frac{1}{4^n},$$ por lo tanto: $$ |\sin(\pi(2+\sqrt{5})^n)| \leq \frac{\pi}{4^n}, $$ dando que la serie original es convergente.