Una expresión con las raíces de un polinomio cuadrático

Question

Tengo la ecuación $$ 9x^2 - 11x + 1 = 0 $$ whose two roots are $ \alfa $ and $ \beta $ .

Necesito a evaluar $$ \frac 1 {(9\alpha-11)^2} + \frac{11\beta - 1} 9$$

Lo he intentado

• Ampliado el denominador y añadirlos, pero nada simplifica y me incluso una expresión compleja.
• He descubierto que $ \alpha + \beta = \frac{11}{9} \implica \alpha = \frac{11}{9} - \beta $

Cómo evaluar el valor de la expresión en una forma más fácil?

Answer 1

Desde $9\alpha^2-11\alpha+1=0=9\beta^2-11\beta+1$, por Vieta del teorema tenemos $$ \frac{1}{(9\alpha-11)^2}+\frac{(11\beta-1)}{9} = \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\left(\frac{11}{9}\right)^2-2\cdot\frac{1}{9}=\color{red}{\frac{103}{81}}$$

Answer 2

Sólo para mostrar otra forma:

$$ \eqalign{ & 9\alpha ^{\,2} - 11\alpha + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad \alpha \left( {9\alpha - 11} \right) = - 1\quad \Rightarrow \quad \left( {9\alpha - 11} \right) = - 1/\alpha \cr & 9\beta ^{\,2} - 11\beta + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad 11\beta - 1 = 9\beta ^{\,2} \cr & 9\left( {\alpha ^{\,2} + \beta ^{\,2} } \right) - 11\left( {\alpha + \beta } \right) + 2 = 0\quad \Rightarrow \quad 9\left( {\alpha ^{\,2} + \beta ^{\,2} } \right) = 11\left( {\alpha + \beta } \right) - 2 = 11\left( {{{11} \más de 9}} \right) - 2 = {{103} \más de 9} \cr & {1 \over {\left( {9\alpha - 11} \right)^{\,2} }} + {{11\beta - 1} \más de 9} = \left( { - \alpha } \right)^{\,2} + \beta ^{\,2} = 103/81 \cr} $$