Cómo mostrar que $\lim \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}=0$?

Question

Mostrar que $$\lim \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} =0$$

He comprobado que esta secuencia converge (es limitada y decreciente). AHORA, necesito encontrar una secuencia que es más grande que esta y va a cero. Tal vez algo utilizando geométricas serie de 1/2

Gracias de antemano!

Answer 1

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum_{1\le i\le\sqrt{n}} \frac{1}{i} + \sum_{\sqrt{n}<i\le n} \frac{1}{i} \le \sum_{1\le i\le\sqrt{n}} 1 + \sum_{\sqrt{n}<i\le n} \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n}.$$

Answer 2

Podemos aproximar una suma finita con una integral definida (ver aquí). Obtenemos que $$\log(n+1)=\int_1^{n+1}x^{-1}\mathrm dx\le\sum_{i=1}^n\frac1i\le1+\int_1^nx^{-1}\mathrm dx=1+\log n.$$ Ahora debemos demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}n=0.$$ Esto puede ser hecho usando la regla de l'Hôpital (una declaración más general demostrado aquí).

Answer 3

En la misma dirección como user121270 y coolydudey60 en sus comentarios $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} =\frac{H_n}{n}$$ and for large values of $n$ $$\frac{H_n}{n}=\frac{\gamma +\log \left(n\right)}{n}+\frac{1}{2 n^2}-\frac{1}{12 n^3}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^4\right)$$ and then what V.C. proposed in his answer $\frac{1+\log(n)}{n}$, parece ser muy buena.

Answer 4

El uso de Stolz-Cesaro teorema obtenemos $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{i=1}^n \frac1i}n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac1{n+1}}{(n+1)-n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac1{n+1} = 0.$$

Se puede considerar esto como un caso especial de una más general hecho de que si $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=L$, entonces también $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_1+\dots+a_n}n=L.$$ (Si una sucesión es convergente, entonces la media aritmética de la primera $n$ elemento convergen al mismo límite.)

Véase, por ejemplo, esta pregunta (y otras preguntas que allí se muestran entre vinculado preguntas): Probar la convergencia de la secuencia de $(z_1+z_2+\cdots + z_n)/n$ de Cesaro significa

Answer 5

Acabo de escribir un enfoque alternativo, que puede ser útil:

Considere la posibilidad de $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=\ln(a_n)$, entonces: $$1\leq a_n=[e^{\frac{1}{1}}e^{\frac{1}{2}}...e^{\frac{1}{n}}]^{\frac{1}{n}}\leq \frac{e^{\frac{1}{1}}+e^{\frac{1}{2}}+...+e^{\frac{1}{n}}}{n}$$

Desde $\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{n}}=1$, el lado derecho de ir a $1$ $n$ enfoque de $\infty$ (Cesaro media), a continuación,$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=1$, lo que implica su límite es $\ln(1)=0$.