Podemos encontrar el número de ordenadas triples $(x,y,z)$ de los enteros no negativos de satisfacciones (i) $x \leq y \leq z$ (ii) $x + y + z \leq 100$? Fuente:Regional Olimpiada De Matemáticas De La India (2003) Gracias.Tengo un feo solución.Pero tengo la esperanza de algún perspicaz/soluciones elegantes.
Respuestas
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Tenga en cuenta que $0 \leq x \leq 33$, ya que el $3x \leq x+y+z \leq 100$.
Ahora fijar un $0 \leq x \leq 33$.
Restar $3x$ entonces tenemos
$$(y-x)+(z-x) \leq 100-3x \,.$$
Denotar $a:= y-x ,\;, b := z-x$. El$0 \leq a \leq b$$a+b \leq 100-3x$.
Hacer lo mismo de nuevo, pero se dividió en dos:
Si $x$, incluso, a continuación,$0 \leq a \leq \frac{100-3x}{2}$$0 \leq (b-a) \leq 100-3x-2a$.
En este caso tenemos a $0 \leq x \leq 33, x$ a ;$0 \leq a \leq \frac{100-3x}{2}$$0 \leq (b-a) \leq 100-3x-2a$.
Si $x$ impar, a continuación,$0 \leq a \leq \frac{99-3x}{2}$$0 \leq (b-a) \leq 100-3x-2a$.
En este caso tenemos a $0 \leq x \leq 33, x$ a ;$0 \leq a \leq \frac{99-3x}{2}$$0 \leq (b-a) \leq 100-3x-2a$.
Tenga en cuenta que en ambos casos, el triple $a,b-a,x$ únicamente determina $x \leq y \leq z$.
Así tenemos:
$$ \left[ \sum_{k=0}^{16} \sum_{a=0}^{\frac{100-6k}{2}} 100-6k-2a+1 \right]+\left[\sum_{k=0}^{16} \sum_{a=0}^{\frac{99-3(2k+1)}{2}} 100-6k-3-2a+1 \right] \,.$$
Editar El $+1$ era originario falta en el soporte, hay $100-3x-2a+1$ opciones de $0 \leq (b-a) \leq 100-3x-2a$.
Ahora cada suma se puede calcular.
*Segunda edición: * Aquí es una parte formal de cálculo de la fórmula:
$$\left[ \sum_{k=0}^{16} \sum_{a=0}^{\frac{100-6k}{2}} 100-6k-2a+1 \right]= \sum_{k=0}^{16} \frac{100-6k}{2}\cdot (100-6k+1) - 2 \cdot\frac{\frac{100-6k}{2}(\frac{100-6k}{2})}{2} \,$$
$$\sum_{k=0}^{16} \frac{100-6k}{2}\cdot (100-6k+1 -(\frac{100-6k}{2}+1))=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{16}(100-6k)^2 $$
Esto puede fácilmente ser calculado, y el segundo término conduce a una similar de cálculo.
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102
Tome $y$ "ultraperiféricas" variable; su rango es de $0\leq y\leq50$. Dado $y$ tenemos para contar el número de celosía de puntos en el juego $$S:=\bigl\{(x,z)\ \bigm|\ x\leq y,\ z\geq y,\ x+z\leq 100-y\bigr\}\ .$$
Al $3y<100$ este conjunto es un trapecio que contengan $y+1$ celosía puntos inferior del borde horizontal. A su izquierda el borde vertical contiene $101-2y$ celosía puntos y su borde vertical derecho contiene $101-3y$ celosía puntos. Por lo tanto, en este caso tenemos un total de $(101-{5\over2}y)(y+1)$ celosía puntos en $S$.
Al $3y>100$ $S$ es un triángulo con $101-2y$ celosía puntos inferior del borde horizontal y $101-2y$ celosía puntos de su borde vertical izquierdo. Por lo tanto, en este caso tenemos un total de $(51-y)(101-2y)$ celosía puntos en $S$.
De ello se desprende que el total $N$ de triples de que el tipo está dada por $$N\ =\sum_{y=0}^{33} (101-{5\over2}y)(y+1)\ +\ \sum_{y=34}^{50} (51-y)(101-2y)\ ,$$ que Mathematica se calcula a $30 787$.
