¿Por qué definimos espacios vectoriales sobre un $\mathbb{F}$ (campo) en lugar de $\mathbb{C}$ (números complejos)?

Question

En mi clase de álgebra lineal, muchas veces definimos espacios vectoriales sobre el campo $\mathbb{F}$ (es decir $\mathbb{F}^n$ ) y luego probar cosas sobre ellos. El instructor ha definido $\mathbb{F}$ como "ya sea $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ ". Porque $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$ ¿por qué no podemos simplemente definir espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ en lugar de introducir una nueva notación?

¿No es cierto que una propiedad que tiene más de $\mathbb{C}$ inmediatamente nos dicen que se mantiene sobre $\mathbb{R}$ porque $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ ?

Answer 1

En última instancia, la razón es similar a la razón por la que se quiere diferenciar entre campos en otras áreas del álgebra:

1. Es posible que quieras trabajar con espacios vectoriales sobre diferentes campos. $\Bbb R$ y $\Bbb C$ son básicamente lo mismo (aparte de una diferencia crucial que se menciona más adelante), pero es posible que quieras trabajar en racionales o en alguna extensión de campo o incluso en un campo de característica distinta de cero. Estas extensiones algebraicas a menudo se consideran espacios vectoriales parciales sobre algún campo más pequeño, por lo que ayuda saber que el álgebra lineal sigue funcionando. Esto es también lo que motiva la definición de módulos. En estos casos es más importante no salirse del campo dado, sobre todo porque puede ser mayor que $\Bbb C$ .
2. Como hay polinomios con coeficientes reales que no tienen soluciones sobre los reales, hay muchos casos especiales para diferentes tipos de descomposición en los que básicamente se obtienen garantías mucho más fuertes si se permite trabajar en los números complejos (algebraicamente cerrados). Sin embargo, es importante para el álgebra en general que sepamos cuándo estas descomposiciones se rompen en campos que no son algebraicamente cerrados.
3. Hay diferentes definiciones para el producto interior y otras formas bilineales cuando se cambia entre los reales y los complejos. Esto se debe básicamente a que se quiere poder comparar la magnitud de las cosas y eso no tiene tanto sentido sobre los complejos.

Además, la razón es que algunas cosas posteriores dependen de la diferencia, por lo que vale la pena estar al tanto de si se permite o no entrar en $\Bbb C$ que causa algunos problemas y resuelve otros. Uno puede preguntarse por qué hay que asociar un campo a un espacio vectorial (tal vez sólo pueda mencionarse cuando sea necesario como condición) y la respuesta es que es una cuestión de fundamentos (es decir, cómo se puede definir adecuadamente un espacio vectorial sin un campo) y una cuestión de saber que tus pruebas siguen funcionando si tienes que llevar esa restricción (es decir, una elección específica de campo) hasta el final.

Por otro lado, es muy natural considerar $\Bbb R$ -espacios vectoriales como $\Bbb C$ -espacios vectoriales cuando se necesitan ciertas propiedades. Cuando se escribe esto, se quiere decir que se debe utilizar el mapa de inclusión (natural) para traducir de uno a otro y se suele terminar demostrando que las cosas son efectivamente ahora reales de nuevo.

Answer 2

$\mathbb{R}^1$ no es un espacio vectorial sobre los complejos.

$\mathbb{R}^2$ puede convertirse en un espacio vectorial sobre los complejos, pero hay muchas formas diferentes (pero isomorfas) de hacerlo. Y como espacio vectorial complejo sólo sería unidimensional.

Answer 3

Hay diferentes campos: Campo de números racionales, campos de funciones algebraicas, campos de números algebraicos, campos p-ádicos...

El campo es el conjunto de escalares del espacio vectorial. Es la división en $\mathbb{R}$ similar a la de $\mathbb{C}$ ? ¿Valor absoluto?

Answer 4

Probar cosas sólo para el campo de los números reales (o complejos) es una restricción innecesaria . Más adelante, por ejemplo, al programar sistemas de álgebra computacional, dicha restricción puede estorbar. Yo iría incluso más lejos: muchas cosas del álgebra lineal son válidas incluso para subcampos arbitrarios de los números complejos, por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

Por ejemplo, cada propiedad verdadera de la forma $$\forall\, X\subseteq\mathbb{C}\colon\ \varphi(X)$$ donde $\varphi$ es un predicado sobre subconjuntos de números complejos sigue siendo cierto cuando se sustituye la anterior $\mathbb{C}$ por un subconjunto arbitrario del mismo (y manteniendo $\varphi$ tal cual).