Cuando es una función de dos variables Normales Normal?

Question

Yo sé que para dos independientes de Gauss variables, la suma y el producto es de Gauss así.

Hay una forma general de esta, es decir, una clase de funciones de $f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R $, de modo que $f(X,Y)$ es de Gauss cuando X,Y son independientes de Gauss (o, posiblemente, conjuntamente Normal)?

Gracias.

Answer 1

El producto de dos (independiente) Gaussiano variables aleatorias no es necesariamente una variable aleatoria Gaussiana! (Ver aquí).

Aquí están algunos de los resultados:

Deje $X:=(X_1,\ldots,X_n) \sim N(\mu,C)$ conjunto normal.

1. Vamos $b \in \mathbb{R}^m$, $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Entonces $$Y:=(Y_1,\ldots,Y_m) := A \cdot X+b$$ is normal, precisely $$Y \sim N(b+A \cdot \mu, A \cdot C \cdot A^T)$$
2. (Caso especial de 1.) $$Y:=\ell^T \cdot X = \sum_{i=1}^n \ell_i \cdot X_i$$ is normal where $\ell \in \mathbb{R}^n$ arbritary, precisely $$Y \sim N(\ell^T \cdot \mu, \ell^T \cdot C \cdot \ell)$$ In particular ($n=2$): $a \cdot X_1 + b \cdot X_2$ is normal for all $a,b \in \mathbb{R}$.

Ahora vamos a $X,Y$ normal e independiente de las variables aleatorias. A continuación, $(X,Y)$ es una variable aleatoria normal (lo que se puede aplicar 1. y 2. a $(X_1,X_2):=(X,Y)$).

Puesto que usted pidió, en particular, para las funciones de $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$: Vamos a $$f(x,y) := a \cdot x + b \cdot y + c \qquad (a,b,c \in \mathbb{R})$$ then $f(X,Y)$ es Gaussiano.