Probar la conectividad de perforado de disco sin usar ruta de acceso-conexión

Question

Con la ruta de acceso-conexión es fácil ver que el disco perforado $$D:=\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:0<x^2+y^2<1\rbrace$$ is connected. I was wondering if there is a proof that $D$ is a connected set of $\mathbb{R}^2$ a partir de la definición de la conexión, o sin usar ruta de acceso-conexión ?

Answer 1

Los intervalos de $(0,1),[0,2\pi]$ están conectados. Por lo tanto $(0,1)\times[0,2\pi)$ está conectado. Considere la función $f:(0,1)\times[0,2\pi)\rightarrow D$ que envía a$(r,\theta)$$(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Es fácil comprobar que $f$ es continua y surjective. Por lo tanto $D$ es la imagen continua de $f$. Por lo tanto $D$ está conectado.

Answer 2

• Identificar el avión $ \mathbb{R}^{2} $$ \mathbb{C} $.

• El perforado plano es la imagen del avión en virtud de la función exponencial.

• Como $ \mathbb{C} $ está conectado y $ \exp $ es continuo, el perforado de plano es por lo tanto conectados.

• El disco perforado es homeomórficos para el perforado de avión. Por lo tanto, el perforado de disco también está conectada.

Nota: Como $ \mathbb{R} $ está conectado, vemos que el avión $ \mathbb{R}^{2} $, y, por tanto,$ \mathbb{C} $, está conectado en el primer lugar.

Answer 3

Sugerencia: Probar que es la imagen continua de un conectada espacio.

Answer 4

Aquí he encontrado otra soloution complejos basados en la exponenciación: Vamos a considerar el conjunto de $S:=(-\infty ,0]\times[0,2\pi)$ que está conectado y $f:S\to D$ se define como $$f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$$ Then $f$ is continous and $f(S)=D$.