Automorphism prueba

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, $T$ un automorphism de $G$ con la propiedad de que $T(x) = x$ $x \in G$ si y sólo si $x = e.$ Demostrar que todos los $g \in G$ puede ser representado como $g = x^{-1}T(x)$ algunos $x \in G$.

Estoy teniendo problemas para entender lo que tengo que probar y cómo empezar? ¿Qué es exactamente $g = x^{-1}T(x)$ me dice? No veo la conexión entre " $T(x) = x$ $x \in G$ si y sólo si $x = e.$" con "puede ser representado como $g = x^{-1}T(x)$."

Answer 1

Vamos a ser concretos acerca de lo $T$ es. Es un automorphism de $G,$ lo que significa que es un bijective función de $T:G\to G$ que es un homomorphism. Un homomorphism satisface $T(ab) = T(a)T(b)$ todos los $a,b\in G.$ Intenta demostrar que homomorphisms debe también tienen la propiedad de que $T(e)=e.$ Otra forma de redacción de la propiedad $T(e)=e$ es la siguiente: $T(x)=x$ si $x=e.$ Ahora tu pregunta declaración nos dice que $x=e$ es el único elemento de $G$ ha $T(x)=x.$ Llame a esta propiedad (*).

Usando la propiedad, usted tiene que probar que para cualquier elemento $g$ $G,$ usted puede encontrar algunos de los $x\in G$ tal que $g= x^{-1} T(x).$ Una forma útil para repensar esta declaración: desea mostrar que la función de $F:G\to G \ : \ x\mapsto x^{-1}T(x)$ es surjective. Aquí es donde las condiciones en la cuestión de empezar a entrar en juego. Un mapa a partir de un conjunto finito a sí mismo es surjective si y sólo si es inyectiva. Estamos dado que el $G$ es finito, así que sólo tenemos que mostrar que $F$ es inyectiva. Es decir, si $F(x)=F(y)$ $x=y.$ a Intentar mostrar esto, manteniendo (*) en la mente.

Answer 2

SUGERENCIA: $$T(a*a^{-1})=T(a)*T(a^{-1})=e$$