La definición de la imagen de un mapa

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser un abelian categoría. Para un morfismos $f:A\rightarrow B$, su imagen es generalmente definida de la siguiente forma: un mapa de $i:I\rightarrow B$ se llama una imagen de $f$ si se trata de un núcleo de un cokernel de $f$.

Yo estaba tratando de hacer un equivalente a la definición de la imagen de $f$ similar a las definiciones usuales de kernel y cokernels. Llegué a la siguiente: un mapa de $i:I\rightarrow B$ se llama una imagen de $f$ si se trata de un monic satisfacer las dos condiciones siguientes:

1. Existe un mapa de $g:A\rightarrow I$ tal que $ig=f$;
2. Si $j:J\rightarrow B$ es otro mapa que no existe $h:A\rightarrow J$ $jh=f$ luego sale un único mapa $k:I\rightarrow J$ tal que $jk=i$.

Yo estaba tratando de ver si la condición para $i$ a ser un monic es innecesario pero me coudn no lo demostró. Así que la pregunta es, es un mapa de $i:I\rightarrow B$ satisfactorio las condiciones 1 y 2 un monic?, o de cómo debería cambiar 1 o 2 con el fin de eliminar la condición de $i$ a ser un monic?.

Tal vez es mejor poner esto en la categoría de $R-mod$ $R$ asociativa anillo. Agradecería sus sugerencias en ambos casos.

Answer 1

La imagen regular no satisface su característica universal (al $f$ no monic). Por ejemplo, supongamos que estamos trabajando con un anillo conmutativo $A$, dos ideales $K$$L$$A$, y el cociente mapa de $A \rightarrow A/(K, L) =: B$. La imagen es $A/(K,L) =: I$, y el mapa de $A \rightarrow A/(K,L)$ factores $A \rightarrow A/K =: J\rightarrow A/(K,L)$, pero no se puede levantar siempre $A/(K,L) \rightarrow A/K$.

Sin embargo, $A \xrightarrow{id} A$ satisface su característica universal!