Preguntas sobre el Teorema de Fubini y $\sigma$-finito medida?

Question

Le pregunté a una pregunta sobre esto hace unos días, pero creo que tengo una mejor formulado la pregunta ahora. La razón por la que no acaba de editar la última pregunta acerca de esto es que siento que las respuestas que recibí fueron de ayuda, y esta vez tengo más detalle a agregar.

Por lo tanto, si $(X \times Y, \overline{\Sigma \times \tau}, \lambda)$ es una medida completa el espacio, con la $\lambda = \mu \times \nu$, entonces, si $f \in L^{1}(d\lambda)$, el teorema de Fubini nos da: $\int \limits_{X \times Y} f \,d\lambda = \int \limits_{X} \left [ \int \limits_{Y} f \,d\nu \right ] \,d\mu$. No necesitamos suponer que el espacio se $\sigma$-finito, debido a que $f \geq 0$ $L^{1}(d\lambda)$ nos permitió construir una secuencia progresión de simples funciones de apoyo en conjuntos finitos medida que convergen a $f$.

Pero, mi profesor dijo que $\sigma$-finitud se oculta en las hipótesis del teorema de Fubini. Específicamente, hemos demostrado que los siguientes son equivalentes:

$\exists f > 0$ medibles tales que $f \in L^{1}(d\lambda)$ $\iff$ $\lambda$ es $\sigma$-finito

Esta declaración fue fácil de probar. Entonces, mi profesor dijo que cuando estamos mirando a $f \in L^{1}(d\lambda)$,$\int \limits_{X \times Y} f \,d\lambda = \int \limits_{X \times Y} f \chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda$, y la medida dada por $\chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} }\,d\lambda$ $\sigma$- finito. Esto es debido a que la parte positiva de $f$, $f^{+}$, es en $L^{1}( \chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda)$.

Pregunta 1: Bueno, claramente $f^{+}$ es estrictamente positivo, y también se puede medir con respecto a $\lambda$. ¿Cómo puedo saber que es medible con respecto a $\chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} }\,d\lambda$? También, ¿cómo puedo demostrar que $f^{+} \in L^{1}( \chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} }\,d\lambda)$? Necesito mostrar que $\int \limits_{X} f^{+} \,d(\chi_{ \{x \mid f(x) \neq 0 \} }\,d\lambda) < \infty$. No estoy seguro de cómo.

Pregunta 2: Ya que tenemos encima de la equivalencia entre las $\sigma$-finito medidas, dado cualquier medir el espacio y cualquier medida $\lambda$ si $f\in L^{1}(d\lambda)$, entonces el mapa de $f \chi_{ \{ x \mid f(x) > 0 \} }$ es positivo mensurable de la función en $L^{1}(d\lambda)$. Por lo que cualquier medida que el espacio es $\sigma$-finito por este argumento... Pero eso no puede ser cierto. Lo que está mal con el argumento? Respuesta: Esta función toma el valor de $0$....

Answer 1

Estoy respondiendo a mi propia pregunta porque he descubierto la respuesta en mis notas, y puede ayudar a que alguien más (que sin duda me ayudará a que yo vuelva a hacer referencia a esta página en el futuro).

Aquí es lo que se entiende por $\sigma$-finitud está "escondido" en la hipótesis del teorema de Fubini.

Para demostrar el teorema de Fubini, asumimos $f \in L^{1}(d\lambda)$. Observe que $f = f\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} }$ donde $\chi_{A} = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \not \in A \end{cases}$.

Entonces eso quiere decir $\int \limits_{X} f \,d\lambda = \int \limits_{X} f\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda$. Y $\int \limits_{X} f\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda = \int \limits_{X} f \,d(\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda)$ (para una prueba, a ver la respuesta y comentarios aquí). La medida dada por $\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda$ $\sigma$- finito, porque:

$X = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} \{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \} \bigcup \{ x \mid f = 0 \}$.

Ahora sólo tenemos que mostrar cada uno de estos conjuntos en los contables de la unión ha finito medida con respecto a la medida $\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda$.

Para cada una de las $n$, $\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda( \{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \}) = \int \limits_{ \{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \} } 1 \chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda = \int \limits_{ X \times Y } \chi_{\{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \}} \chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda = \int \limits_{ X \times Y } \chi_{\{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \} \cap \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda = \int \limits_{ X \times Y } \chi_{\{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \} } \,d\lambda \leq \int \limits_{ X \times Y } n |f| \,d\lambda < \infty $

desde $f \in L^{1}(d\lambda)$. Así, para cada $n$, $ \{ x \mid |f| \geq \frac{1}{n} \} $ ha finito medida con respecto a la medida $\chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda$. También, es claro que $\{ x \mid f(x) = 0 \}$ tiene una medida de $0$ con respecto a esta medida.

Por eso, $(X, \Sigma, \chi_{ \{ x \mid f(x) \neq 0 \} } \,d\lambda)$ $\sigma$- finito.