Encontrar el mínimo de $x^2+y^2$ al $(x^2y-xy^2)(x^3-y^3)=x^3+y^3$

Question

Si $x,y \in \mathbb {R}$, encontrar el mínimo de $x^2+y^2$ al$(x^2y-xy^2)(x^3-y^3)=x^3+y^3$$xy>0$.

Este problema fue inspirado por un problema que le preguntó si $x,y \in \mathbb {R}$$xy \neq 0$, encontrar el mínimo de $x^2+y^2$ al $xy(x^2-y^2)=x^2+y^2$.

Mediante el establecimiento de $x=a\sin\theta$, $y=a\cos\theta$, la ecuación puede ser simplificada a $a^2=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta(\sin\theta^2-\cos\theta^2)}$

Sin embargo, observe que $\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$, $\sin\theta^2-\cos\theta^2=\cos2\theta$.

Esto implica que $a^2=\frac{2}{\sin2\theta\cos2\theta}$, por lo que el $a^2=\frac{4}{\sin4\theta}\ge 4$.

Así, el mínimo de$x^2+y^2$$4$, con la igualdad de participación cuando se $x=\sqrt{2-\sqrt{2}}$, $y=\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

Sin embargo, dado que no existen fórmulas sé de donde $\sin^3 x+\cos^3 x$, no sabía cómo encontrar el mínimo de $x^2+y^2$ al $(x^2y-xy^2)(x^3-y^3)=x^3+y^3$.

Representación gráfica se parece implicar que un mínimo existe, pero yo no soy consciente de cómo encontrarlo.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

EDIT: Acabo de darme cuenta de $xy≠0$. Aquí está el tristemente difícil solución.

En lugar de escribir las minucias, me limitaré a esbozar el método de solución.

Para empezar, volver a escribir la expresión inicial de la siguiente manera:

$xy(x-y)^2(x^2+xy+y^2)=(x+y)(x^2+y^2-xy)$

Hicimos esto por factorización de la suma y diferencia de cubos. (Para la que no hay fórmulas establecidas, pero que también pueden ser derivados).

Ahora, simplemente hacer las sustituciones que se utiliza, a pesar de que yo llamaría $x=r\cos(\theta)$ $y=r\sin(\theta)$ porque de Pitágoras definiciones de las funciones trigonométricas. (De"enfrente de" el ángulo correspondiente a la $y$ longitud y "adyacentes" correspondiente a la abscisa ($x$-eje) longitud)

Usted, la solución para $r$ o $a$ o como se la quiera llamar, encontrar una expresión en $\theta$ para el cubo de ese número. Dejando $r=\sqrt{x^2+y^2}$, nos encontramos con que:

$r^3=\frac{2(\sin(\theta)+\cos(\theta))(2-\sin(2\theta))}{(sin(2\theta))(1-\sin(‌​\theta))(2+\sin(2\theta))}$

Y que,

$r^3 = -\frac{2(\sin(2x)-2)\cot(2x)}{(\sin(2x)+2)(\cos(x)-\sin(x))^3}$

Tomar la raíz cúbica de ambos lados, plaza de la cabina de los lados, y luego encontrar el mínimo de la expresión resultante en $\theta$ sobre el lado derecho.

Este será el valor mínimo. Escribir la última frase era mucho más fácil que hacer las matemáticas. Porque las funciones trigonométricas son periódicas, si usted se considera un intervalo de $0<\theta<2π$ usted necesita para localizar la relativa de mínimos, de los cuales se hace evidente que el $0$ es el menor valor que toma la función.

En un mundo sin WolframAlpha podríamos utilizar algunos de los graves de una sola variable de cálculo para determinar la relación de los mínimos en el intervalo dado por la localización donde la función de los derivados son cero y la aplicación de la prueba habitual.

Sin embargo, usted dice que $xy≠0$. Aww, hombre. Pero tienes razón, eso habría sido demasiado fácil.

Ahora queremos mirar al otro relativa de mínimos. Computacionalmente, la respuesta es 3.182. Yo no creo que hay maneras de calcular a mano.

$r=\left(-\frac{2\left(\sin \left(2\theta\right)-2\right)\cot \left(2\theta\right)}{\left(\sin \left(2\theta\right)+2\right)\left(\cos \left(\theta\right)-\sin \left(\theta\right)\right)^3}\right)^{\frac{2}{3}}$

Desea que los mínimos de la función que es distinto de cero con x y y mayor que cero en la ecuación original.

Answer 2

El uso de Lagrange multiplier tienes un enlace condición:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{x^4 y -2 x y^4 + y^5 - 3 x^2}{-2 x^4 y +5 x y^4 + x^5 -3 y^2} $$