una pregunta cómo probar:$\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n-1}{\cos(nx)}\over {n}}=\ln(2\cos(x/2))$

Question

He encontrado una pregunta complicada en mi libro de texto, no puedo resolverlo? Cómo demostrar a $$\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n-1}{\cos nx}\over {n}}=\ln(2\cos(x/2))$$ donde $x\in(-\pi,\pi)$.

Mi trató de método: traté de tomar la derivada de $\ln(2\cos(x/2))$, y el derivado $$\frac{-\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}=\frac{-1}{2}\tan(x/2)$$. Traté de calcular la serie de Taylor de ${-1\over 2}\tan(x/2)$. Sin embargo, creo que no funciona con el método. También he intentado utilizar las series de Fourier para resolver, pero la integración de $\ln(2\cos(x/2))\cos(nx)$ es tan difícil. No sé cómo resolverlo? Alguien me puede decir como solucionar este problema?

Answer 1

Poner $\cos(nx)={\rm Re}\, e^{inx}$ y el uso $$\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\dots$$

Answer 2

$$\log(1+e^{ix}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}e^{ixn}}{n}$$ Tomando la parte Real de ambos, obtenemos $${\rm Re}\log(1+e^{ix}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\cos(nx)}{n}$$ y aviso que $${\rm Re}\log(1+e^{ix}) = \log|1+e^{ix}| = \log2|e^{-ix/2}+e^{ix/2}| = \log(2\cos(x/2))$$

Answer 3

He aquí una sugerencia sobre la "no-complejo-" el análisis de la solución. Como se señaló, una de las formas es utilizar las series de Fourier, pero tu problema es con la integración de $\ln(2\cos(x/2))\cos nx$, así que déjame ayudarte con eso. Usando integración por partes, obtenemos $$I=\int_0^\pi \ln(2\cos(x/2))\cos nx\,dx=\frac1n\int_0^\pi \ln(2\cos(x/2))\,d\sin nx=\frac1n\int_0^\pi \frac{\sin nx\sin(x/2)}{4\cos(x/2)}\,dx=\frac1n\int_0^{2\pi} \frac{\sin 2nx\sin x}{2\cos x}\,dx=\frac1{2n}\int_0^{2\pi} \frac{\cos (2n-1)x-\cos(2n+1)x}{\cos x}\,dx=\frac1{2n}(I_{n-1}-I_n),$$ donde $$I_n=\int_0^{2\pi} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}\,dx=\int_0^{2\pi} \frac{2\cos x\cos 2nx-\cos(2n-1)x}{\cos x}\,dx=-I_{n-1}.$$ Desde $I_0=2\pi$, $I_n=-I_{n-1}$ llegamos a la conclusión de que $I_n=2\pi(-1)^n$. Por lo tanto, $$I=\frac{\pi}{n}(-1)^{n-1}.$$

Answer 4

Edit: he añadido una solución completa \begin{align} \sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n-1}\cos{nx}}{n} &=\sum_{n \ge 1}(-1)^{n}\int \sin{nx} dx\\ &=\int \Im\left(\sum_{n \ge 1} (-e^{ix})^n \right)dx\\ &=-\int\Im\left(\frac{e^{ix}}{1+e^{ix}}\right)dx\\ &=-\int\Im\left(\frac{e^{ix/2}}{e^{-ix/2}+e^{ix/2}}\right)dx\\ &=-\frac{1}{2}\int\Im\left(\frac{\cos(x/2)+i\sin(x/2)}{\cos(x/2)}\right)dx\\ &=-\frac{1}{2}\int\tan(x/2)dx\\ &=\ln(\cos(x/2))+c \end{align} Vemos que \begin{align} c &=\sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\ &=\sum_{n \ge 0}(-1)^n\int^1_0x^n \ dx\\ &=\int^1_0\frac{1}{1+x}dx\\ &=\ln{2}\\ \end{align} (Alternativamente, uno podría simplemente reconocer la serie de Taylor de $\ln(1+x)$ y determinar el valor de $c$ directamente). Por lo tanto $$\sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n-1}\cos{nx}}{n}=\ln(\cos(x/2))+\ln(2)=\ln(2\cos(x/2))$$