¿Es un error en Dummit & Foote?

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo sin identidad, y sea $a, b \in R$ . ¿Es cierto que $b \in (a) \iff b=ar$ para algunos $r \in R$ ?

Esto parece estar implícito (puedo proporcionar los detalles a petición) en Dummit & Foote.

La definición de $(a)$ proporcionada en Dummit & Foote es la intersección de todos los ideales que contienen $a$ . En anillos conmutativos con identidad, se demuestra que $(a) = R \{a \} R = \{r_1ar_2 + \cdots + \cdots r_nar_n| \text{ where each } r_i \in R \} = \{ar | r \in R \}.$ En este caso, es fácil demostrar que $b \in (a) \iff b=ar$ para algunos $r \in R$ .

Sin embargo, creo que esto no es cierto en los anillos sin identidad, y creo que tengo un contraejemplo:

Dejemos que $R = 2 \mathbb{Z}$ y $a=6$ . Los únicos ideales de $R$ que contienen $6$ son $2\mathbb{Z} = R$ y $6\mathbb{Z}$ por lo que la intersección de todos los ideales que contienen $6$ es $6\mathbb{Z}$ .

Ahora $18 \in (6) = 6\mathbb{Z}$ pero $18 \not = 6r$ para algunos $r \in 2\mathbb{Z}$ .

EDITAR: Aquí es donde encontré la declaración en D & F. Tengo la tercera edición, de bolsillo. En la página $274$ tenemos la definición de divisibilidad:

Definición: Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y que $a,b \in R$ con $b \not = 0$ .

$\vdots$

Tenga en cuenta que $b|a$ en un anillo $R$ si y sólo si $a \in (b)$ ...

(Perdón por haber invertido los papeles de $a, b$ en mi pregunta)

Answer 1

Edición: Me quito el sombrero ante Carl Mummert, que ha señalado que mi respuesta original utilizaba una definición errónea del ideal generado por $a \in R$ .

Según Dummit y Foote, el ideal generado por un elemento $a$ de un anillo $R$ , denotado como $(a)$ es el ideal más pequeño que contiene $a$ . Cuando $R$ es un anillo conmutativo con identidad, entonces $(a) = Ra$ où $Ra = \{r a : r \in R \}$ también es un ideal.

El ejemplo que usted proporciona muestra que $(a) \neq Ra$ en general cuando $R$ es un anillo conmutativo sin identidad. En efecto, $(6)$ consiste en todos los múltiplos de $6$ , mientras que $R6$ consiste en todos los múltiplos de $12$ en su ejemplo.

Tienes razón en que la afirmación de Dummit y Foote es errónea en general. La versión correcta es $b \mid a \Leftrightarrow a \in Rb$ para cualquier anillo conmutativo $R$ . Cuando $R$ contiene una identidad, esto es equivalente a $b \mid a \Leftrightarrow a \in (b)$ pero su afirmación es estrictamente falsa sin el supuesto de que $R$ contiene una identidad, y tu contraejemplo lo demuestra. En su ejemplo, $18 \in (6)$ pero $6 \nmid 18$ en $R = 2\mathbb{Z}$ .