¿Por qué las definiciones de las distintas secciones cónicas producir una sola ecuación?

Question

Puedo entender cómo obtener a partir de las definiciones de una hipérbola - como el conjunto de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos en $(-c,0)$ $(c,0)$ es constante, $2a$ - y una elipse - como el conjunto de todos los puntos para los que la suma de estas distancias es la constante de la ecuación $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1,\qquad\text{(A)}$$ and I also understand if $a>c$ we can define $b^2=a^2-c^2$, yielding $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad\text{(E)}$$ and if $<c$ we can define $b^2=c^2-a^2$, yielding $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\qquad\text{(H)}$$ también entiendo (por simplemente "mirar" en las gráficas de estas dos casos) que el anterior, (E), corresponde a una elipse, y el último, (H), a una hipérbola.

Sin embargo, parece que la ecuación general (A), oscurece la distinción que se ha especificado en las definiciones: si dos diferentes definiciones de producir la misma ecuación, no algo que se ha perdido en el proceso? En algún punto de las derivaciones debe haber tomado un paso que acabó con algunas de las característica de las ecuaciones (B) y (C) a continuación - que distingue a las definiciones. Veo que uno puede "restaurar" una distinción al considerar la relación entre el$a$$b$, como en el anterior, pero la manera en que la distinción de los mapas de nuevo a la distinción entre las definiciones es oscuro para mí.

¿Qué pasos en las derivaciones de (a) a partir de las definiciones respectivas, (B) y (C), es obscurecer la información que distingue a esas definiciones? Es algo que se puede generalizar?

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Las derivaciones que me estoy refiriendo son bastante estándar, que aparecen en muchos textos y también en varios lugares en este sitio, pero se repiten aquí para referencia.

De Spivak del Cálculo (p. 66): un punto de $(x,y)$ es una elipse si y sólo si $$\sqrt{(x+c)^2+y^2} +\sqrt{(x-c)^2+y^2}= 2a\qquad\text{(B)}$$ $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}= 2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$ $$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2$$ $$4(cx-a^2)=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$ $$c^2x^2-2cxa^2+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)$$ $$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\qquad\text{(A)}$$

A partir de un post relacionado: un punto de $(x,y)$ es una hipérbola si y sólo si $$\sqrt{(x+c)^2+y^2} -\sqrt{(x-c)^2-y^2}=\pm 2a\qquad\text{(C)}$$ $$\frac{4xc}{\sqrt{(x+c)^2+y^2} +\sqrt{(x-c)^2-y^2}}=\pm 2a$$ $$\sqrt{(x+c)^2+y^2} +\sqrt{(x-c)^2-y^2}=\pm \frac{2cx}{a}$$ $$2\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2\left(a+ \frac{xc}{a}\right)$$ $$x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+ 2cx+ \frac{c^2x^2}{a^2}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\qquad\text{(A)}$$

Answer 1

Esta es la diferencia entre los números reales, algunos de los cuales no son los cuadrados de los otros números reales y los números complejos, que son los cuadrados de los otros números complejos. Es el $a^2 - c^2$ en el denominador un número negativo (es decir, uno que no es un cuadrado) o un número positivo (uno que es un cuadrado) (el caso donde es 0, lo que también es un cuadrado, no es lo que estamos examinando aquí).

Si usted trabaja con números complejos en lugar de números reales, entonces no hay ninguna diferencia entre elipses e hipérbolas.

(Si usted va un paso más allá y trabajar con espacios proyectivos más que afín espacios, entonces no hay ninguna diferencia entre aquellos y parábolas.)

Answer 2

Observe que E y H tiene dos constantes, Una tiene tres. Así que de Una forma un superconjunto de E y H, y usted debería ver el gráfico de Un estudio de cómo la E y H son ensambladas para formar Un determinado compuesto geométrica/relación.

Debido a una cierta manipulación en Un puede traer en forma de E o H, podemos ver que los tres parámetros de la trama contiene subconjunto gráficos de E y H. En el hecho de que a es un conjunto ortogonal de intersección confocal E y H.