Una secuencia pointwise convergente y equibounded en $L^2(\mathbb R)$ norma es débilmente $L^2(\mathbb R)$ convergentes

Question

COMO se dice en el título, me dan una secuencia $\{f_n\}\in L^2(\mathbb R)$ y la siguiente hipótesis:

$\{f_n\}\to 0$ pointwise y existe una constante $C$ tal que $\|f_n\|_{L^2(\mathbb R)}<C$ por cada $n\in\mathbb N$. Ahora es cierto que $$f_n\to0\quad\text{weakly in}\quad L^2(\mathbb R)?$$

Mi conjetura es que la respuesta es afirmativa.

He cancelado mi pensamiento porque estaban mal.

Answer 1

Esto es algo astuto argumento que creo haber visto en algún lugar de aquí (o algo similar) Edición: AD. dio el link donde tengo el argumento de: la Convergencia de las integrales en L^p.

Primero, escoja $D > 0$ y vamos a elegir el conjunto $C_n := \{x \in \mathbf{R} : |f_n(x)g(x)| \leq D |g(x)|^2\}$. Entonces Dominado por la Convergencia tenemos que

$$\int_{C_n} f_n g \, \text{d}\lambda \to 0.$$

En el complemento $\complement C_n$ tenemos que $|g(x)|^2 \leq D^{-1} |f_n(x) g(x)|$. Así

$$\int_{\complement C_n} |f_n g| \, \text{d}\lambda \leq \sqrt{\int_{\complement C_n} |f_n|^2 \, \text{d}\lambda}\sqrt{\int_{\complement C_n} |g|^2 \, \text{d}\lambda} \leq \frac{C}{\sqrt{D}} \sqrt{\int_{\complement C_n} |f_n g| \, \text{d}\lambda}.$$

Por lo tanto,

$$\int_{\complement C_n} |f_n| |g| \, \text{d}\lambda \leq \frac{C^2}{D}.$$

Así,

$$\limsup_n \int_{\complement C_n} |f_n| |g| \, \text{d}\lambda \leq \frac{C^2}{D}.$$

Pero $D$ fue arbitraria, por lo tanto

$$\lim_n \int |f_n g| \to 0.$$