Problema de integración $\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^3+8)}$

Question

$$\int \frac{dx}{x(x^3+8)}$$

Creo que debo usar fracciones parciales, pero no estoy seguro de cómo empezar el problema. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Si quieres decir $x(x^{3}+8)$ en el denominador de la integral entonces:

Una pista: $$\frac{1}{x(x^{3}+8)}=\frac{1}{8x}-\frac{x^{2}}{8(x^{3}+8)}$$

Answer 2

Este es el montaje:

$$\int \frac{dx}{x(x^3 + 8)} = \int \frac{dx}{x(x+2)(x^2 -2x + 4)} = \int \left(\frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{Cx + D}{x^2-2x + 4}\right) \,dx$$

Ahora puedes resolver para $A, B, C, D$ .

Nota: Las diferencias y las sumas de los cubos son factores predecibles: $$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

En esta pregunta, $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ .

Answer 3

Puede dejar que $u=x^3, du=3x^2dx$ para conseguir $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^3+8)}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2}{x^3(x^3+8)}dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u(u+8)}du$ .

Ahora utiliza las fracciones parciales para terminar de integrar.

Answer 4

Sugerencia: Tenga en cuenta que $\displaystyle x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ . Es porque tienes $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Para $x^2-2x+4$ tienes $\Delta<0$ por lo que deberías encontrar fracciones parciales:

$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x^2-2x+4}+\frac{Dx}{x^2-2x+4}$$

Answer 5

Nota que $$x^5-32 = (x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$$ $$x^7-128 = (x+2)(x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64)$$ $$x^9-512 = (x+2)(x^8-2x^7+4x^6-8x^5+16x^4-32x^3+64x^2-128x+256)$$ ¿ves el patrón? ahora aplica el patrón a $$x^3+8$$