Inf sup de una expresión que no implique secuencias

Question

Tengo $$ \inf_{f \in W} \sup_{x \in [-1,1]} |x + f(x)|$$ donde $f \in W = \{f: [-1,1] \rightarrow R$ continuo $| \int_0^1 f(x) d \mu = \int_{-1}^0 f(x) d \mu = 0\}$ .

Quiero computar esta cosa pero no estoy seguro de que hacer con el $inf$ $sup$ . Sé que $\inf \sup x_n = \limsup x_n$ para secuencias pero aquí no tengo secuencias. ¿Alguien tiene alguna idea de lo que podría hacer?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Gracias Davide y robjohn, he fusionado vuestras respuestas en la siguiente:

Para calcular lo siguiente: $$ || f||_{C/W} = || x||_{C/W} = \inf_{f \in W} \sup_{x \in [-1,1]} |x + f(x)|$$

Sea $g(x) = x + f(x)$ . Entonces $$ \int_0^1 g(x) d \mu = \frac{1}{2}$$ y $$ \int_{-1}^0 g(x) d \mu = - \frac{1}{2}$$

$$ \implies || f||_{C/W} = \inf_{g \in W^\prime} \sup_{x \in [-1,1]} |g(x)| = \inf_{g \in W^\prime} ||g ||_\infty$$ donde $W^\prime = \{ g: [-1,1] \rightarrow R | \int_0^1 g(x) d \mu = \frac{1}{2}, \int_{-1}^0 g(x) d \mu = - \frac{1}{2}\}$

(i) $$ || g||_\infty = || g||_\infty \mu([0,1]) \geq \int_0^1 g d \mu = \frac{1}{2}$$

$$ \implies ||f||_{C/W} \geq \frac{1}{2}$$

(ii) Ahora queremos una función en $W$ cuyo supremum (=máximo) es $\frac{1}{2}$ . Eso es fácil:

$$ f(x) := -x - \frac{1}{2}$$ para $x \in [-1,0]$ $$ f(x) := x - \frac{1}{2}$$ para $x \in [0,1]$

$$ \implies || f ||_{C/W} = \frac{1}{2}$$

Answer 2

A menudo podemos ignorar la continuidad en un primer momento y obtener funciones que necesitan ser aproximadas por otras continuas.

Considere $g(x)=x+f(x)$ . Queremos encontrar $$ \inf_{g \in W'} \sup_{x \in [-1,1]} |g(x)|\tag{1} $$ donde $W'=\{g:[-1,1]\mapsto\mathbb{R}|\int_0^1g(x)\;\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\text{ and }\int_{-1}^0g(x)\;\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\}$ .

En $(1)$ queremos encontrar un $g$ que minimiza el supremo de su valor absoluto, pero tiene integral $\frac{1}{2}$ en $[0,1]$ e integral $-\frac{1}{2}$ en $[-1,0]$ . En $[0,1]$ Esto sería $g(x)=\frac{1}{2}$ y en $[-1,0]$ sería $g(x)=-\frac{1}{2}$ . Así, obtenemos que $$ f(x)=\left\{\begin{array}{}+\frac{1}{2}-x&x\in[0,+1]\\-\frac{1}{2}-x&x\in[-1,0]\end{array}\right.\tag{2} $$ Ahora, $(2)$ no describe una función continua, pero puede aproximarse fácilmente por una que tenga un comportamiento lo más parecido a $f$ como deseemos. Así pues, la respuesta a la pregunta original es $\frac{1}{2}$ .