Sírvanse indicar si existen garantías al respecto.

Question

¿Cómo puedo calcular $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k\sin(kx)}{1+k^2}$$ for $0<x<2\pi$? Wolfram alpha no se puede calcular, pero la suma seguramente converge.

Answer 1

Uso de conocidas series de Fourier de expansión $$\sinh(at)=\frac{2\sinh \pi a}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n\sin nt}{n^2+a^2},\quad t\in(-\pi,\pi)$$ (que puede ser fácilmente demostrado simplemente mediante el cálculo de los coeficientes de Fourier para esta función), y observando que $(-1)^{n+1}\sin nt=\sin((\pi-t)n)$ obtenemos la serie en cuestión de tomar $a=1$$t=\pi-x$: $$\sum_{n=1}^\infty\frac{n\sin nx}{n^2+1}=\frac{\pi\sinh(\pi-x)}{2\sinh \pi},\quad x\in(0,2\pi).$$

Answer 2

Podemos escribir la suma como una combinación lineal de la función LerchPhi

$$ \Phi(z,s,a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{(k+a)^s}. $$

En primer lugar, escribimos la suma (uso parcial de la fracción)

$$ S = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{ikx}}{4i(k-i)} -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-ikx}}{4i(k-i)}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{ikx}}{4i(k+i)}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{4i(k+i)} $$

$$\implies S =\frac{1}{4i}( \Phi(e^{ix},1,-i)- \Phi(e^{-ix},1,-i)+ \Phi(e^{ix},1,i)- \Phi(e^{-ix},1,i) ).$$

Nota: esta es una técnica general que puede manejar más general de la serie de el en el considdration.

Answer 3

Usted puede usar Mathematica. Traté de Mathematica 7.0 y se le da:

Donde $_2F_1$ es la función hipergeométrica: