Generadores y relaciones para el álgebra de Steenrod en términos de $Sq^{2^i}$'s?

Question

Uno puede mostrar de forma inductiva que el álgebra de Steenrod se genera como un álgebra de la $Sq^{2^i}$'s, pero se puede escribir de forma explícita el Adem de las relaciones en los términos de esta presentación?

Por supuesto, la presentación estándar del álgebra de Steenrod $\mathcal{A}^\ast$ la describe como la libre asociativa $\mathbb{F}_2$-álgebra en la generación de set $\{Sq^n \mid n \in \mathbb{N}\}$, módulo del Adem de relaciones además de la identidad de $Sq^0 = 1$. Pero es un estándar de hecho (después de la Adem relaciones) que esta generación del sistema es redundante: $\mathcal{A}^\ast$ ya generado por el restringido grupo electrógeno $\{Sq^{2^i} \mid i \in \mathbb{N}\}$. Sin embargo, es muy evidente cómo expresar un conjunto completo de relaciones en términos de la restricción generación del sistema; por ejemplo, el Adem de relaciones para el producto $Sq^{2^i} Sq^{2^j}$ introducir términos de la forma $Sq^{2^i+2^j-2^r}Sq^{2^r}$ el cual debe ser inductiva escrito en términos de la restricción de generación de set.

Por supuesto, hay otras presentaciones de la álgebra de Steenrod, por ejemplo, en términos de Milnor. Pero todavía estoy curioso: ¿cuáles son las relaciones entre las $Sq^{2^i}$'s de forma explícita?

Por supuesto, uno podría preguntar una pregunta similar a la de los números primos impares.

Answer 1

Este fue abordado por primera vez por la Pared en su 1959 papel: "los Generadores y Relaciones para el Álgebra de Steenrod", C. T. C. de la Pared, Anales de las Matemáticas, Vol. 72, Nº 3, pp 429-444. Él no encontrar una simple forma cerrada para las relaciones, pero se parecen \begin{align*} \text{Sq}^{2^i} \text{Sq}^{2^j} + \text{Sq}^{2^i} \text{Sq}^{2^j} &= \text{(other terms)} \quad \text{for} \ 0 \leq j \leq i-2, \\ \text{Sq}^{2^i} \text{Sq}^{2^i} &= \text{(other terms)}. \end{align*} La pared es un poco más explícito acerca de los "otros términos".

Otros han encontrado las mejores descripciones de estos. Consulte la Sección 4.5, y en particular el Teorema 4.18, en Madera, "los Problemas en el álgebra de Steenrod", Boletín de Londres Matemáticas Soc., Volumen 30, número 5, pp 449-517. La madera también se menciona a un papel por Papastavridis, "las Relaciones en el mod p álgebra de Steenrod", como el tratamiento con análogos de la Pared de los resultados en algunos de los números primos, pero no he leído que.