En la tarjeta de vino "Proyectiva Conjunto", muestran que 7 cartas siempre contienen un conjunto.

Question

En el juego de la Proyectiva Conjunto, resulta que cualquier siete tarjetas contienen un proyectiva conjunto. ¿Cómo se puede demostrar esto? Y por menos de 7 cartas, ¿cómo podemos determinar la probabilidad de que uno o más conjuntos de existir (en términos de número de tarjetas)?

Para aquellos no familiarizados con Proyectiva Conjunto, he aquí una descripción de la página de la wikipedia enlazado más arriba:

Un Proyectiva Conjunto de la tarjeta tiene seis atributos binarios, o bits, generalmente representados por puntos de colores. Para cada color de punto, cada tarjeta tiene ese punto o no. Hay una carta para cada combinación posible de los puntos excepto en la combinación de puntos no en todos, por lo $2^6 - 1 = 63$ total de naipes.

Tres cartas se dice que forman un "set" si el número total de puntos de cada color es 0 o 2. Del mismo modo, cuatro o más tarjetas de formar un "set" si el número de puntos de cada color es un número par.

Una tarjeta y de sí mismo podría decirse para formar un conjunto de dos tarjetas, pero como las cartas de la baraja son todos distintos, esto no surge en modo de juego real.

Answer 1

Idea

En un espacio vectorial de dimensión $6$ cualquier $7$ vectores son linealmente dependientes.

Detalles

El $63$ tarjetas pueden ser representados como los elementos de $\mathbb F_2^6 \setminus\{\mathbf 0\}$: Las seis coordenadas corresponden a los seis colores. Si un color está presente en una tarjeta, la entrada correspondiente es $1$ e lo contrario $0$.

Ahora vamos a $S \subseteq \mathbb F_2^6 \setminus\{\mathbf 0\}$ ser una colección de tarjetas. En virtud de las reglas del juego, $S$ forma un conjunto si y sólo si $S$ no está vacío y $\sum_{\mathbf x\in S} \mathbf x = \mathbf 0$. Por lo tanto $S$ contiene un conjunto si y sólo si $S$ es un subconjunto linealmente dependiente de la $\mathbb F_2$-espacio vectorial $\mathbb F_2^6$.

Ahora el reclamo de la siguiente manera por el hecho de que cualquier $7$-elemento subconjunto de a $6$-dimensional espacio vectorial es linealmente dependiente.