Cualquier gran grupo es SQ-universal.

Question

Este resultado es parte de los preliminares de la sección de "Grandeza y SQ-universalidad de Cíclicamente se Presentan Grupos," por Gerald Williams.

Los Detalles:

Definición 1: Un grupo es grande si se tiene un número finito de índice de los subgrupos que se asigna a la libre grupo de $F_2$ de la fila $2$.

Definición 2: Un grupo de $G$ es SQ-universal si cada contables de grupo puede ser embebido en un cociente grupo de $G$.

La Pregunta:

Demostrar que cualquier grupo grande es SQ-universal.

Pensamientos:

Deje $G$ ser grande. Entonces existe un subgrupo $H$ $G$ tal que $[G: H]$ es finito y no existe epimorphism $\theta: H\to F_2$. Por lo tanto, en un sentido, $F_2$ puede ser visto como un subgrupo de $G$. Esto sería suficiente (casi) siempre que las siguientes mantenga.

• El grupo $F_2$ es SQ-universal.
• Si $A$ es un subgrupo de un grupo de $B$ $A$ es SQ-universal, a continuación, $B$ es SQ-universal.

El ex no es muy claro para mí, pero la última parece obvio.

Ayuda por favor :)

Answer 1

Teorema. Un gran $\Rightarrow$ SQ-universal.

Prueba.

1. El grupo $F_2$ es SQ-universal. Esta es una vieja resultado de Higman-Neumann-Neumann (en el papel en donde primero se introducen HNN-extensiones: G. Higman, B. H. Neumann y H. Neumann, la Incrustación de teoremas para grupos, J. Londres Matemáticas. Soc. 24 (1949), 247-254).

2. Siendo SQ-el universal es cerrado bajo finito de índice (supongamos $H\leq_fG$, $G$ es SQ-universal si y sólo si $H$ es SQ-universal). Este es un resultado de Peter Neumann*. La referencia es P. M. Neumann: El SQ-universalidad de algunos finitely presentan grupos. J. Austral. De matemáticas. Soc. 16, 1-6 (1973). He copiado la primera dirección de la prueba, que si $G$ es SQ-universal y $H\leq_f G$ $H$ es SQ-universal, que, desgraciadamente, no es la dirección que usted necesita. La dirección opuesta es más, usted puede mirar en el papel si lo desea. La prueba del lema depende del hecho bien conocido de que cada contables de grupo puede ser incrustado en una countably infinito simple grupo. Por lo tanto, vamos a $X$ ser cualquier contables del grupo y que $S$ ser una contables, infinito, simple grupo que tiene un subgrupo isomorfo a $X$. Supongamos primero que $G$ es SQ-universal y que $H$ es un subgrupo de índice finito en $G$. Existe un subgrupo normal $N$ $G$ tal que $\overline{G} = G/N$ contiene un subgrupo $\overline{S}$ isomorfo a $S$. Ahora $\overline{H} = HN/N$ ha finito índice en $\overline{G}$. Por lo tanto, $H \cap \overline{S}$ ha finito índice en $\overline{S}$ y, en consecuencia, contiene un subgrupo normal y finito de índice en $\overline{S}$. Desde $\overline{S}$ es simple e infinito de ello se sigue que $\overline{H} \cap \overline{S} = \overline{S}$. Por lo tanto $S$, y, por consiguiente,$X$, es isomorfo a un subgrupo de $\overline{H}=HN/N\cong H/(H\cap N)$. Por lo tanto $H$ es SQ-universal.

Algunas observaciones:

1. Si $H\twoheadrightarrow F_2$ $H$ contiene en realidad una copia de $F_2$. Así que cuando usted dice "por Lo tanto, en un sentido, $F_2$ puede ser visto como un subgrupo de $G$", esto es en realidad muy concreta como $F_2\leq H\leq G$.

2. Existen no-SQ-grupos universales que contienen una SQ-universal de los subgrupos, por lo que su segunda viñeta es incorrecta (es decir, usted necesita el finito índice de condición). Por ejemplo, en el párrafo anterior de P. Neumann documento se señala que no es un simple grupo, $S$ decir, que contiene algunos SQ-grupo universal como un subgrupo (por ejemplo,$F_2\hookrightarrow S$). A continuación, $S$ no puede ser SQ-universal: para ver esto, supongamos lo contrario. Por simplicidad, cada dos generado grupo incrusta en $S$. Hay una cantidad no numerable de no isomorfos dos grupos generados. Sin embargo, sólo hay countably muchos generado subgrupos de $S$ (como sólo hay countably muchos pares de elementos $(s_1, s_2)\in S\times S$). Esto es una contradicción, y el resultado de la siguiente manera.

3. Grandes grupos fueron estudiados por primera vez por Steve Orgullo. El primer resultado fue con B. Baumslag**, donde se demostró que si un grupo de $G$ tiene una presentación con dos unidades más que los relatores, a continuación, $G$ es grande; más tarde, en la década de los '80, su estudiante Martin Edjvet estudiado para su tesis ("El concepto de magnitud en la teoría de grupo" - Edjvet es todavía alrededor). Steve me dijo una vez que su motivación fue la de obtener algún tipo de orden parcial en finitely generado grupos basados en SQ-universalidad, y, en particular, los dos grupos deben ser iguales en este orden parcial si son proporcionales (es decir, $A\sim B$ si existe $C$ tal que $C$ incrusta con índice finito en tanto $A$$B$). El orden en finitely generado por grupos es la siguiente: $H\preceq G$ si existe $K\lhd_fG$ tal que $K\twoheadrightarrow H$. Este orden parcial se llama la extensión de pedidos. Tenga en cuenta que los grandes grupos se sientan en la parte superior de esta orden, así como de $F_2$ contiene finitos índice de libre subgrupos de arbitraria de rango finito.

*Uno de los hijos de los dos anteriores Neumanns - el resultado es, de hecho, dedicado a "la memoria de su madre", H. Neumann.

**El hermano de la gran G. Baumslag.