He aquí una pregunta que ha salido en un par de charlas que me han dado recientemente.
La clásica forma de mostrar que hay un nudo $K$ que es localmente plana rebanada en 4 bolas, pero no sin problemas rebanada en 4 bolas es hacer las dos cosas
Calcular que el polinomio de Alexander $K$ es 1, y por tanto, por los resultados de Freedman permite saber que $K$ es localmente plana de la rebanada.
(debido a Rudolph) de alguna manera obtener un diagrama de $K$ (o utilizar un argumento más sutil) para mostrar que se pueden presentar a $K$ como la separación de la curva con un mínimo de Seifert superficie de un toro nudo. Ya sabemos (por varias pruebas, la primera debido a Kronheimer-Mrowka) que el género de toro nudo es igual a su suave 4-bola de género (parte de Milnor de la conjetura), la lisa de 4 bolas género de $K$ debe ser igual al género de la pieza del toro nudo Seifert superficie de la que los límites, y esto es $\geq 1$.
Hervir el enfoque de 2. abajo a la trenza diagramas, te salen con el sector-Bennequin la desigualdad.
Bien, aquí está la cosa. Tengo este suave cobordism del toro nudo a $K$, y entonces sé que $K$ límites localmente plana en forma de disco. Esto significa que el nivel local-plano 4-bola de género del toro nudo debe ser menor que la de su suave 4-bola de género. Así que si usted fuera a pensar que el local plana 4-bola de género de un toro nudo está de acuerdo con su suave 4-bola de género, que sería un error.
Mi pregunta es ¿hay conjeturas que hay sobre el toro nudo localmente plana de género? Incluso asintóticamente? Ningún resultado? De cualquier manera conocida para tratar y estudiar esto?
Gracias, Andrew.
