Si $A$ ser una matriz invertible $M_3(\mathbb{R})$ y tenemos $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^2)=0$$\det(A)=1$, entonces ¿cuál es el polinomio característico de a $A$?
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user2397257
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Por Cayley-Hamilton, la característica fórmula es:
$$x^3 − \text{tr}(A)x^2+\frac{1}{2}[\text{tr}^2(A)−\text{tr}(A^2)]x−\det A =0$$
En particular, el polinomio característico se convierte en $x^3-1$.
Si $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ son los autovalores de a $A$, entonces el polinomio característico es:
\begin{align*}\det(xI-A) &= (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3) \\ &= x^3 - (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)x^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1)x-\lambda_1\lambda_2\lambda_3\end{align*}
El determinante de una matriz es el producto de sus valores propios. Por lo tanto $\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \det A = 1$.
La traza de una matriz es la suma de sus valores propios. Por lo tanto, $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = \text{tr}(A) = 0$.
También, los autovalores de a$A^2$$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\lambda_3^2$. Por lo tanto, $\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2 = \text{tr}(A^2) = 0$.
Ahora, utilice el hecho de que $(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2 = \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1)$ conseguir $\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1 = 0$.
Por lo tanto, el polinomio característico es $x^3-1$.
