¿Es la norma no decreciente en cada variable?

Question

Déjame intentarlo de nuevo. Supongamos que $\|\cdot\|$ es una norma en $\mathbb{R}^n$ y que $$f(x_1,...,x_n)=\|(x_1,...,x_n)\|$$

donde $x_i\geq 0, \forall i$ . Quiero probar o refutar que $f$ es una función no decreciente en cada una de sus variables.

Gracias

Nota: Supongamos que variamos $x_i$ y fijar las demás variables. Entonces quiero que la función $g(x_i)=f((x_1,...,x_i,...,x_n))$ para que no sea decreciente.

Answer 1

Sabemos que $\|x\|_1=|x_1|+|x_2|$ es la norma en $\mathbb R^2$ . (Se llama $\ell_1$ -normas o norma del taxi .) Es fácil ver que rotación no cambia las propiedades de norma .

Así que para cualquier ángulo $\varphi$ la función $$\|x\|=|x_1\cos\varphi-x_2\sin\varphi|+|x_1\sin\varphi+x_2\cos\varphi|$$ es una norma en $\mathbb R^2$ .

Para $\varphi=\frac\pi 6$ tenemos $$\|x\|=\frac{|\sqrt3x_1-x_2|+|x_1+\sqrt3x_2|}2.$$

Si arreglamos $x_2=1$ entonces esta función no es monótona en $x_1$ como podemos comprobar al trazar |sqrt(3)t-1|+|t+sqrt(3)| en WA.

Answer 2

Supongo que te refieres a que si mantenemos fijas todas las variables, excepto una, entonces es no decreciente. En ese caso, el cálculo puede venir al rescate. Tomemos la derivada de $g$ : $$ \frac{dg}{dx_i}=\frac{d}{dx_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots x_i^2+\cdots x_n^2} $$ Dado que todos los $x_j$ que no son iguales a $x_i$ son constantes, esto es $$ \frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots x_i^2+\cdots x_n^2}} $$ Si $x_i\geq 0$ entonces la derivada es no negativa y $g$ no es decreciente.

Por supuesto, aquí estoy asumiendo que usted está utilizando la norma estándar en $\mathbb{R}^n$ .

Answer 3

Encontré este post cuando tenía la misma pregunta. Me parece que la respuesta es no .

Veamos el $\ell_2$ -normas: $\|\boldsymbol{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ y recordar la definición de función no decreciente:

Una función, $f(x)$ es no decreciente en un intervalo $I$ si $f(b) \geq f(a)$ para todos $b > a$ donde $a,b \in I$ .

Sin pérdida de generalidad, dejemos que $x_2,\ldots,x_n$ se arreglen, $x_2+\cdots+x_n=C$ y escribir $g(x) = \sqrt{x^2 + C}$ , donde $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ . Observamos que $g(-2)>g(-1)$ pero $-2 \ngtr -1$ . Por lo tanto, el $\ell_2$ -norma no es una función no decreciente en cada una de sus variables.

Answer 4

La respuesta es sí si $f(x)=f(|x|)$