Deje $H_i (i \in I)$ ser una familia de subgrupos de $G$. Qué $\bigcap \mathrm{core}(H_i) = \mathrm{core}(\bigcap H_i)$?

Question

Si $H \leq G$, luego definimos $\mathrm{core}(H) = \bigcap\limits_{g \in G} (gHg^{-1})$. A mí me parece que $\mathrm{core}(\bigcap H_i ) \subseteq \bigcap \mathrm{core}(H_i )$, pero no estoy seguro de lo contrario. Alguna pista?

Answer 1

Vamos a escribir $H^g$$gHg^{-1}$. Tenga en cuenta que para todas las $i$ tenemos $\bigcap_{i \in I} H_i \subseteq H_i$, y por lo tanto, para cualquier $g \in G$, $(\bigcap_{i \in I} H_i)^g \subseteq H_i^g$. Esto implica $core_G(\bigcap_{i \in I} H_i) \subseteq core_G(H_i)$ todos los $i$. Por lo $core_G(\bigcap_{i \in I} H_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} core_G(H_i)$.
Por el contrario, $core_G(H_i) \subseteq H_i$, por definición y, por tanto,$\bigcap_{i \in I} core_G(H_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} H_i$. Pero $\bigcap_{i \in I} core_G(H_i) \unlhd G$, ya que cada $core_G(H_i) \unlhd G$. Y esto demuestra que $\bigcap_{i \in I} core_G(H_i) \subseteq core_G(\bigcap_{i \in I} H_i)$.
Así que, de hecho,$\bigcap_{i \in I} core_G(H_i) = core_G(\bigcap_{i \in I}H_i)$.$\square$