Suma y el Producto de n enteros positivos

Question

Si he a $ n $-enteros positivos, y me calcular su suma y el producto, hay algún grupo diferente de $ n $-enteros positivos que tienen la misma suma y el producto?

Por ejemplo, si $ a,...,z $ denotar 26 enteros positivos, y definimos:

\begin{align} a+b+c+d+....+z &= \text{Sum} \\ a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot .... \cdot z &= \text{Product} \end{align}

Es allí cualquier manera de obtener la misma Suma y el Producto de un grupo diferente de 26 (en este ejemplo) enteros positivos?

EDITAR:
Un amigo mío ha señalado que, sabiendo que tenemos un grupo de 3 que funciona, podemos demostrar que funciona para todos los positivos de los grupos de $ n $ enteros.

Por Ejemplo: $ \{3,3,10 \} $ $ \{2,5,9 \} $ el rendimiento de la Suma de la $=16 $ y el Producto $=90 $.
Ahora sólo tenemos que añadir continuamente un número (digamos 1) como el siguiente entero para obtener múltiples soluciones para $ n =4,5,6,... $.
Explícitamente, $ \{ 3,3,10,1 \} $ $ \{ 2,5,9,1 \} $ tanto de dar Suma de$=17$ y el Producto$=90$.

Answer 1

Así no puede ser cierto para 2 valores.

$n >0,m>0$ $nm>0$.

Deje $(n+k)+(m-k) = n+m $ $(n+k)(m-k)=nm $

A continuación,$nm +k (m-n) - k^2 = nm $, por lo que

$k (m-n)= k^2$. Si $k \ne 0$$m-n=k $$m-k = n $$n+k=m $.

Si $k =0$$n+k=n $$m+k=m$.

Por lo $n,m $ son los enteros positivos (de hecho positivo reales) donde $a+b=n+m;ab=nm$.

Esto no debería sorprendernos. Es simplemente una reafirmación de la media aritmética vs la media geométrica de la propiedad.

Podemos extender a través de la inducción?

Para ser honesto, no estoy seguro, pero creo que podemos.

O tal vez directamente

$(a_n - \sum k_i)\prod(a_i + k_i)=a_n\prod a_i \implies \{a_i +k_i,a_n - \sum k_i\} = \{a_i\} $

Puede que ser probado

Answer 2

Dado cualquiera de un montón de pares de $\{a,b\}, \{d,e\}$, usted puede agregar un número a cada uno para hacer la coincidencia de suma y producto. Queremos $$a+b+c=d+e+f\\abc=def\\f-c=a+b-d-e\\\frac fc = \frac {ab}{de}$$ and we can solve the last two to get $$c=(a+b-d-e)\frac 1{\frac {ab}{de}-1}\\f=(d+e-a-b)\frac 1{\frac {de}{ab}-1}$$ As long as $a+b \neq d+e$ and none are zero we have a solution. As long as the pair with the greater sum also has the greater product both $c,f$ será positivo.