Encontrar los conjuntos de líneas en un quadric

Question

En primer lugar, me disculpo por mi: voy a estar haciendo todos los términos de los cuales no conozco la traducción.

Este es mi problema:

En el verdadero espacio proyectivo $\mathbb{P}^3$, considerar la quadric surface $Q$ definido por la siguiente ecuación: $$ 8x_1x_4+2x_2x_3-4x_2x_4-4x_3x_4=0 $$ Reconocer $Q$, determinar si contiene líneas, y si lo hace, describir a través homogénea cartesiano ecuaciones de las dos filas de líneas que contiene.

La matriz asociada es: $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 4 & -2 & -2 & 0\end{bmatrix}$$ Esto, evidentemente, ha de rango 4, y he sido capaz de determinar que tiene dos autovalores positivos y dos negativos. Por lo tanto, debe ser real, no degenerados quadric, y contienen las líneas, pero no tengo idea de cómo encontrarlos.

Sé que el quadric es similar (a través de un projectivity) a la de la ecuación de $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=0$, y sé cómo encontrar las líneas: a través de las ecuaciones $$ \begin{cases} h(x_1-x_3)=k(x_4-x_2) \\ k(x_1+x_3)=h(x_2+x_4) \end{casos} $$ y el otro, similar sistema de ecuación.

Pero no puedo hacer que funcione, en el caso general: se supone que tengo que determinar la projectivity que los mapas de $Q$ en su forma estándar y, a continuación, utilizar su inversa para determinar las líneas?

Answer 1

Si $x_4 \neq 0$, luego $$x_1 = -\frac{x_2 x_3}{4 x_4} + \frac{1}{2} x_2 + \frac{1}{2} x_3.$$ Esto demuestra que, sin embargo elegimos $x_2, x_3, x_4 \in \mathbb{R}$$x_4 \neq 0$, se obtiene un punto de $Q$ $[x_1, x_2, x_3, x_4]$ $x_1$ dado por la relación anterior.

Con esto, queremos definir un inyectiva mapa de $S\colon \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^3$ de manera tal que la imagen de $S$ está contenido en $Q$. De esta manera, si elegimos $[h, k] \in \mathbb{P}^1$, obtenemos dos líneas contenidas en $Q$ como las imágenes de $\{[h, k]\} \times \mathbb{P}^1$ e de $\mathbb{P}^1 \times \{[h, k]\}$ bajo $S$.

Podemos construir $S$ como sigue. Fix $[v_0, v_1], [w_0, w_1] \in \mathbb{P}^1$ y escribir $[x_1, x_2, x_3, x_4]$$S([v_0, v_1], [w_0, w_1])$. En primer lugar, nos vamos a $x_4 = v_0 w_0$, ya que es arbitrario y debe ser un polinomio homogéneo tanto en$v_0, v_1$$w_0, w_1$. Entonces, necesitamos la $x_2 x_3$ a ser divisible por $4x_4$, por lo que elegimos $x_2 = 2 v_0 w_1$$x_3 = 2 v_1 w_0$. Por último, y para $[x_1, x_2, x_3, x_4]$ a pertenecer a $Q$, sustituimos $x_2$, $x_3$ y $x_4$ en la relación anterior, así que debemos tener $x_1 = -v_1w_1 + v_0 w_1 + v_1 w_0$.

Para resumir, $$S([v_0, v_1], [w_0, w_1]) = [-v_1 w_1 + v_0 w_1 + v_1 w_0, 2 v_0 w_1, 2 v_1 w_0, v_0 w_0].$$ Observe que el mapa induce un bijection entre el $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ y el quadric $Q$.

Como $[h, k] \in \mathbb{P}^1$ varía, vamos a describir las imágenes de $\{[h, k]\} \times \mathbb{P}^1$ $\mathbb{P}^1 \times \{[h, k]\}$ bajo $S$, que proporcionan dos familias de líneas contenidas en $Q$.

La primera línea asociada a$[h, k]$$S([h, k], [1, 0]) \vee S([h, k], [0, 1])$, es decir, $$[k, 0, 2k, h] \vee [h-k, 2h, 0, 0]$$ que ha ecuaciones $$\begin{cases} hx_3 = 2k x_4 \\ 2h x_1 = (h - k) x_2 + 2k x_4. \end{cases}$$ La segunda línea asociada a$[h, k]$$S([1, 0], [h, k]) \vee S([0, 1], [h, k])$, es decir, $$[k, 2k, 0, h] \vee [h-k, 0, 2h, 0]$$ que ha ecuaciones $$\begin{cases} h x_2 = 2k x_4 \\ 2h x_1 = (h - k) x_3 + 2k x_4. \end{cases}$$

Answer 2

Creo que la idea general en estos casos es encontrar una forma inteligente de manipular las ecuaciones de modo que las dos familias de las líneas se destacan claramente. En este caso concreto yo haría lo siguiente: $$ 8x_1x_4-4x_2x_4=4x_3x_4-2x_2x_3 $$ $$ 4x_4(2x_1-x_2)= 2x_3(2x_4-x_2) $$ y entonces usted puede fácilmente llegar a las familias de las líneas:

$$\mathcal{F}_1:\begin{cases} \mu4x_4=\lambda(2x_4-x_2)\\ \lambda(2x_1-x_2)=\mu2x_3 \end{casos}$$

$$\mathcal{F}_2:\begin{cases} \mu'4x_4=\lambda'2x_3\\ \lambda'(2x_1-x_2)=\mu'(2x_4-x_2) \end{casos} $$ Ahora, para cada una de las $(\mu,\lambda),(\mu',\lambda')\in\mathbb{P}^1$ usted obtiene una línea de uno de cada familia (como la intersección de dos planos). Tenga en cuenta que ya están expresadas mediante ecuaciones cartesianas.