Limitar con logaritmo de factorial

Question

Evaluar el límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(2n)!! - \log(2n-1)!!}{\log n}.$$

Donde

$$(2n)!!= 2\cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)$$ $$(2n-1)!!= 1\cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$$

Answer 1

$(2n)!!=2^n\,n!\quad$ $\quad(2n-1)!!=\dfrac{(2n)!}{(2n)!!}=\dfrac{(2n)!}{2^n\,n!}\qquad$ Ahora utilice la aproximación de Stirling.

Answer 2

$$\ldots =\frac{\sum_{j=1}^{n} \ln(1+\frac{1}{2j-1})}{\ln n}=\frac{\sum_j \frac{1}{2j-1}-\sum_j \frac{1}{2 (2j-1)^2}+\frac{1}{3(2j-1)^3}-\ldots}{\ln n}$$ La suma de todos los términos, excepto el primero puede estar delimitado por algo de orden $\frac{O(1)}{\ln n}$ (esto requiere un poco de trabajo) y en el límite, el primer término $$\frac{\sum_j \frac{1}{2j-1}}{\ln n}=\frac{\sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{j}-\sum_{j=1}^n \frac{1}{2j}}{\ln n}=\frac{\ln 2n - \frac{1}{2} \ln n + o(n)}{\ln n}\mapsto \frac{1}{2}.$$

Answer 3

Con Cesaro-Stolz: $$ \lim_{n \to \infty}\frac{\log((2n)!!) - \log((2n-1)!!)}{\log n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\log((2n+2)!!)-\log((2n)!!) - \log((2n+1)!!)+\log((2n-1)!!)}{\log(n+1)-\log n}= $$

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{\log \frac{(2n+2)!!(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)!!} }{\log((n+1)/n)}= \lim_{n \to \infty}\frac{\log \frac{2(n+1)2(n+1)}{(2n+1)(2n+2)} }{\log((n+1)/n)}=\cdots $$