True, false, o sin sentido?

Question

Los siguientes son dos afirmaciones siempre fiel, siempre falsa o carente de sentido?

$\exists i \in \emptyset$

$\forall i \in \emptyset$

Porque parece que uno se encuentra con expresiones de este tipo bastante similar en matemáticas, especialmente si estamos tratando con casos degenerados de definiciones. Permítanme darles un ejemplo (en teoría de grafos) de un caso. De ahí, se puede formalizar la idea de que las dos vértices están conectados de la siguiente manera: Vamos a $G=(V,E)$ un gráfico y deje $v,w\in V $. Definimos $v$ $w$ a "conectado" si: $\exists n \in \mathbb{N}, \ \exists \alpha: \left\{ 1,\ldots,n \right\} \rightarrow V, \ \alpha_0=v \ \& \ \alpha_n=w \ \ \forall i\in \mathbb{N}, 0\leqslant i \ \& \ i<n:\ \left\{ \alpha_i, \alpha_{i+1} \right\} \in E$

Ahora, si vamos a pedir, si cada nodo está conectado a sí mismo (un hecho que intuitivamente nos gustaría ser cierto), tendríamos que presentan un $n$ y una secuencia $\alpha$, de tal manera que [bla bla...]. La opción obvia para $n$ es 0. Pero para que esta elección de $n$, no mattter que la secuencia de $\alpha$ consideramos el conjunto de la $i$'s estaría vacía, porque el conjunto de la $i$s'es en realidad $\left\{ i\in \mathbb{N} | 0\leqslant j \ \& \ j<n \right\}$. Pero para $n=0$ este conjunto es el conjunto vacío. Por lo tanto, ya podemos cuantificar $\forall i \in \left\{ i\in \mathbb{N} | 0\leqslant j \ \& \ j<0 \right\}=\emptyset$, caso de que la declaración sea verdadera/falsa por definición?

EDIT: lo Siento, para mi claro formulación y a todos los que por mi culpa interpretado erróneamente. La forma en que Carl Mummert o Listado de interpretar, era lo que yo quería decir.

Answer 1

Cuando somos capaces de traducir los enunciados matemáticos en la lógica formal, el "limitado cuantificadores" $(\exists x \in I) P(x)$ $(\forall x \in I) P(x)$ generalmente son vistas como las abreviaturas, como sigue:

• $(\exists x \in I) P(x)$ es una abreviatura de $(\exists x)(x \in I \land P(x))$.

• $(\forall x \in I) P(x)$ es una abreviatura de $(\forall x)(x \in I \to P(x))$.

Con estos convenios, el delimitada cuantificadores continuar sentido incluso al $I$ está vacía. En ese caso, $(\exists x \in \emptyset) P(x)$ siempre será falsa, y $(\forall x \in \emptyset) P(x)$ siempre será verdad, independientemente de la fórmula $P(x)$. Así, por ejemplo, $(\exists x \in \emptyset)(i = i)$ es falso e $(\forall x \in \emptyset)(i \not = i)$ es cierto.

Una bonita propiedad de esta definición de la limitada cuantificadores es que se hace dual en el sentido de que para cualquier conjunto a $I$ (posiblemente vacía) y cualquier fórmula $P(x)$, tenemos

• $(\exists x \in I) P(x) $ si y sólo si $\lnot (\forall x \in I)\lnot P(x)$
• $(\forall x \in I)P(x) $ si y sólo si $ \lnot (\exists x \in I)\lnot P(x)$

Estos pueden ser verificado por el cálculo directo: $$ \begin{split} (\exists x \in I) P(x) & \Leftrightarrow (\exists x) (x \in I \land P(x)) \\ & \Leftrightarrow \lnot (\forall x) \lnot (x \in I \land P(x)) \\ & \Leftrightarrow \lnot (\forall x)(x \not \in I \lor \lnot P(x)) \\ & \Leftrightarrow \lnot (\forall x)(x \in I \to \lnot P(x))\\ & \Leftrightarrow \lnot (\forall x \in I)\lnot P(x) \end{split} $$ y $$ \begin{split} (\forall x \in I) P(x) & \Leftrightarrow (\forall x) (x \in I \to P(x)) \\ & \Leftrightarrow \lnot (\exists x) \lnot (x \not \in I \lor P(x))\\ & \Leftrightarrow \lnot (\exists x) (x \in I \land \lnot P(x))\\ & \Leftrightarrow \lnot (\exists x \in I) \lnot P(x) \end{split} $$

Answer 2

En esta forma, estos son sólo los comienzos de proposiciones. Pero usted puede tener un significado: $$ \exists i: i\in \{\} $$ $$ \forall i: i\in \{\} $$ La segunda nos dice que todos los $i$ es un elemento del conjunto vacío. Esta proposición es falsa. Es suficiente para encontrar un contraejemplo. Barack Obama no es un elemento del conjunto vacío. Así que es falso, porque la condición de ($i$ es un elemento del conjunto vacío) no es para todos los $i$.

La primera es más débil, pero aún es falso. Para demostrar que es cierto, tendríamos que encontrar un elemento $i$ que es un elemento del conjunto vacío. Pero debido a que el conjunto vacío no tiene elementos, usted no puede encontrar ninguna. :-) La situación cuando la condición (en este caso, $i$ es un elemento del conjunto vacío) tiene exactamente cero soluciones es la forma - y la única - de cómo el cuantificador existencial puede fallar.

Sus comentarios sobre los gráficos son mucho más complicadas que las dos proposiciones anteriores, pero es cierto que uno debe tomar entender la lógica de las dos proposiciones anteriores para asegurarse de que él puede evaluar más complejo existencial y universal de las proposiciones acerca de los gráficos (y todo lo demás en matemáticas).