¿Extraño uso del análisis complejo en Weinberg QFT 1?

Question

Al principio del capítulo 3 sobre teoría de la dispersión en el libro de QFT de Weinberg hay un uso del teorema residual de Cauchy que no consigo entender.

En primer lugar, un poco de notación: estamos estudiando estados que efectivamente no interactúan y que se consideran un producto directo de estados de una partícula descritos por sus momentos. $p_i$ y un montón de índices (posiblemente discretos) $n_i$ . Para simplificar la notación se escribe la suma sobre todos los índices y la integral sobre todos los momentos:

$$\int ~\mathrm d\alpha\, \ldots \ \equiv \sum_{n_1\sigma_1n_2\sigma_2\cdots} \int ~\mathrm d^3p_1~ \mathrm d^3p_2\, \ldots\tag{3.1.4} $$

La energía de tal estado $\alpha$ se indica $E_\alpha$ y es la suma de las energías de 1 partícula correspondientes a los momentos: $$E_\alpha = p_1^0 +p_2^0+\ldots\tag{3.1.7}$$ Ahora en el libro estamos viendo algunas integrales que se parecen a esto:

$$\int ~\mathrm d\alpha~ \frac{e^{-i E_\alpha t} g(\alpha) T_{\beta \alpha}}{E_\alpha - E_\beta \pm i \epsilon}\tag{3.1.21b} $$

$g(\alpha)$ es una función suave que es distinta de cero en un intervalo finito $\Delta E$ de energías. $T_{\beta \alpha}$ también se puede suponer que es suave.

Ahora el autor extiende la integral a un semicírculo en el semiplano superior de las energías, utiliza el teorema residual de Cauchy y toma $t \to - \infty$ para obtener el resultado 0. Mis problemas son:

1. En realidad, la integral no es sobre las energías, sino sobre los momentos. La energía es una función de los momentos, así que estoy seguro de que podemos hacer algún tipo de sustitución para obtener una integral sobre la energía, pero esta integral no será sobre $\mathbb{R}$ ya que la energía de cada partícula es positiva. Por lo tanto, no podemos cerrar un semicírculo.
2. Para utilizar el teorema de Cauchy $g(\alpha)T_{\beta \alpha}$ debe ser analítica después de hacer todas las integrales excepto la integral de energía, pero si al mismo tiempo $g(\alpha)$ se supone que es cero fuera de cierto rango finito de energías, esto no es posible.

Answer 1

Heurísticamente, un enfoque para justificar la aplicación de Weinberg de la fórmula de Cauchy es tratar el integrando no analítico como el comportamiento en el límite de una función meromórfica (algo así como las series de Fourier):

1. realiza todas las integraciones internas hasta que te quede una integral sobre la energía,
2. resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann dentro del semiplano superior (posiblemente con un conjunto singular eliminado), con el integrando como condición de contorno en la recta real,
3. aproximar la integral original utilizando la solución que se acaba de obtener (por ejemplo, en un contorno cercano dentro del dominio de analiticidad),
4. estimar la aproximación mediante la fórmula del residuo.

Por supuesto, sería un milagro que todos estos pasos pudieran llevarse a cabo sin errores. Afortunadamente, es fácil asegurarse de que estos errores decaigan en el gran $t$ límite: en la integral $$ I=\int ~\mathrm dE~\frac{e^{-iEt}f(E)}{E-E_\beta\pm i\epsilon}, $$ el peor comportamiento está cerca $E=E_\beta$ . Podemos eliminar esto simplemente separando $I$ en dos partes: $$ I^\prime_\pm=f(E_\beta)\int~\mathrm dE~\frac{e^{-iEt}}{E-E_\beta\pm i\epsilon},\quad I_\pm^\textrm{reg} \equiv I-I^\prime_\pm. $$ Se puede aplicar la fórmula integral de Cauchy para demostrar $I_\pm '$ desaparece cuando $t\rightarrow \mp\infty$ mientras que $I^\textrm{reg}_\pm$ decae a cero a medida que $|t|\rightarrow\infty$ por los argumentos habituales del lema de Riemann-Lebesgue cuando $f(E)$ es suficientemente "bonito". Dado que $|I|\leq |I^\textrm{reg}|+|I^\prime|$ se deduce que $I_\pm$ desaparece (con la elección adecuada de $\pm\epsilon$ .)