$$\int_{0}^{\infty} x^{n}\sinh x dx$$
$$\int_{0}^{\infty} x^{n}\cosh x dx$$
$$\int_{0}^{\infty} x^{n}\tanh x dx$$
¿cuál es la solución de estos impropias integrales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Todas las tres de estas funciones hiperbólicas son no negativos al $x \geq 0.$
$$\int_{0}^{\infty}x^n \sinh x dx > \int_{1}^{\infty}x^n \sinh x dx > \int_{1}^{\infty}\sinh x = \cosh x \bigg|_{1}^{\infty} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \bigg|_{1}^{\infty}$$
así que su primera integral diverge a infinito. Para su segunda integral, de intercambio de sinh y cosh arriba (y cambiar el final de signo a signo de menos en este sentido). De nuevo, la integral se puede ver a divergir hasta el infinito. Por último, recordar (o comprobar) que
$$ \int \tanh x dx = \log|\cosh x| + C$$
Teniendo esto en mente, es claro que la tercera integral también diverge a infinito.
De hecho, si usted simplemente escribe lo sinh, cosh y tanh, en términos de la función exponencial (es decir, sus definiciones iniciales), se debe tener claro que estos indefinido integrales todos diverge a infinito.
Jez
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469
Desde $\sinh x ,\cosh x\to \infty, \tanh x \to 1$$x \to \infty$, hay un $r>0$ tal que $$ \sinh x \ge \frac{1}{2},\ \cosh x \ge \frac{1}{2},\ \tanh x \ge \frac{1}{2} \forall x \ge r. $$ De ello se sigue que \begin{eqnarray} \int_0^\infty x^n\sinh x dx&\ge&\int_r^\infty \frac{x^n}{2} dx=\infty,\cr \int_0^\infty x^n\cosh x dx&\ge&\int_r^\infty \frac{x^n}{2} dx=\infty,\cr \int_0^\infty x^n\tanh x dx&\ge&\int_r^\infty \frac{x^n}{2} dx=\infty. \end{eqnarray}
Mhenni Benghorbal
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1
Recordando la transformada de Mellin una función de $ f(x) $,
$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x)\, dx \,.$$
Entonces uno puede escribir $$ \int_{0}^{\infty} x^{n}\tanh(x)\, dx = F(n+1) \,, $$
donde $ F(n) $ es la transformada de Mellin $\tanh(x)$.
La transformada de Mellin $\tanh(x)$ (calculada por Arce) está dada por $$ F(s) = {2}^{1-s} \left( {2}^{1-s}-1 \right) \Gamma \left( s \right) \zeta \left( s \right)\,, \quad -1<\Re(s)<0 .$$
Nuestros integral se puede evaluar como
$$ \int_{0}^{\infty} x^{n} \tanh(x)\, dx = {2}^{-n} \left( {2}^{-n}-1 \right) \Gamma \left( n+1 \right) \zeta \left( n+1 \right)\,. $$
La integral anterior existe para $ -2 < n < -1 $. Aquí está una comparación entre la evaluación numérica de la integral de $n=-\frac{3}{2}$ y a la calculada por la fórmula para el mismo $n$
La evaluación numérica de la integral de la $ \approx 3.811125882 $ $$ -4\,\sqrt {2} \left( 2\,\sqrt {2}-1 \right) \sqrt {\pi }\zeta \left( -\frac{1}{2} \right) = 3.811125880 $$.
