Ley de los grandes números fuerte para no correlacionados $L^2$ variables aleatorias

Question

Estoy leyendo Teoría de la Probabilidad, y me encontré con el siguiente ejercicio:

Demostrar que si $X_n \in L^2$ son variables aleatorias no correlacionadas e idénticamente distribuidas, entonces $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \to \mathbb{E}[X_1]\text{ almost surely.}$$

Esto parece un poco raro, ya que se da como teorema que la convergencia ocurre en probabilidad. (Lo que implica que puedo encontrar una subsecuencia que converge casi seguro.) No mencionan este fortalecimiento del teorema en el texto, así que me pregunto si lo que afirma el ejercicio es cierto.

Answer 1

Sí, lo que afirma el ejercicio es cierto. Véase el teorema 21 aquí y considere el párrafo anterior para una prueba.