Gran Rudin Ejercicio 3.26 - Que integral es más grande

Question

Este es el ejercicio 3.26 en Rudin Real Y Complejo Análisis:

Si $f$ es positivo mensurable de la función en $[0,1]$, que es más grande, $$\int_0^1 f(x) \log f(x) \, dx$$ o $$\int_0^1 f(s) \, ds \int_0^1 \log f(t) \, dt$$

He probado un montón de funciones y siempre llegamos a la primera a ser más grandes, lo que sugiere que Hölder la desigualdad no ayuda aquí (al menos no de una aplicación directa). No he podido encontrar un ejemplo en el que hizo el segundo más grande. Estoy atascado en caso contrario.

(Este es el auto-estudio, no a la tarea)

Aclaración: La integral de aquí es la integral de Lebesgue. La única respuesta hasta ahora es sólo aplicable a Riemann integrable funciones.

Answer 1

La función de $x\mapsto x\log x$ es convexa en a $(0,\infty)$, ya que su segunda derivada es positiva. Por lo tanto, por la desigualdad de Jensen,

$$\int_0^1 f(t)\log f(t) dt \geq \int_0^1 f(t) dt \log\left( \int_0^1 f(t) dt \right) .$$

La función de $x\mapsto \log x$ es cóncava, para que otra aplicación de Jensen de la desigualdad de los rendimientos

$$\log\left( \int_0^1 f(t) dt \right) \geq \int_0^1\log f(t) dt .$$

La combinación de estas dos desigualdades se demuestra el resultado.