$$\begin{cases}x^n+y^n=2\\x+y=2\end{cases}\;,\;n\in\mathbb{N}\;,\;x,y\in\mathbb{R}\;,\;n>2$$
He tratado de mostrar que el $\displaystyle y'=-\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}}=-1$ $$......$$ por lo tanto, $x=y=1$ es la única solución.
¿Hay algún método(s) para demostrar la pregunta ?
Se ve como el Último Teorema de Fermat.
Aquí hay una manera: Hacer el cambio de variables $x= 1+a, y=1+b$. A continuación, la segunda ecuación nos da $a = -b$. Así es mostrar que la siguiente ecuación tiene una única solución $a=0$: $$(1+a)^n + (1-a)^n -2 = 0$$
El lado izquierdo es un polinomio con todos los coeficientes no negativos. Por lo tanto no puede tener un resultado positivo de la raíz. Como el LHS es, incluso, del mismo modo que no puede haber negativo de la raíz. Por lo tanto $a=0$ es la única solución.
No estoy seguro de si este es riguroso, pero podemos maximizar la función $$f(x,y)=x+y$$ over the constraint $x^n+y^n=2$. Lagrange Multipliers gives $$(1,1)=\lambda (x^{n-1},y^{n-1})$$ Therefore we have $x=\pm y$ depending on the parity of $n$. Plugging into the equation we have $$2x^n=2\implies x,y=\pm1$$ which gives the values $(-2,0,2)$. Hence $2$ is the maximum of $x+y$ más que la familia de curvas.
No puede haber otro máximo local, por lo que la única posibilidad es que el $x+y$ aumenta sin límite sobre la restricción. Pero no es difícil ver que este no es el caso.
Comentarios acerca de la validez de este argumento sería apreciada. Específicamente, no estoy seguro de si es válido para aplicar Lagrange a través de este no-región compacta $x^n+y^n=2$ al $n$ es impar.
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