Cada profinite grupo es, naturalmente, un grupo afín esquema sobre $\mathbb Q$?

Question

Yo vi un caso especial de esto después de leer acerca de la Weil grupo y la de Weil-Deligne grupo. Desde que estoy tratando de ser más técnicamente competente en la geometría algebraica, me pareció interesante tema a explorar en más generalidad.

Deje $G$ ser un profinite grupo. Es compacto Hausdorff, y totalmente desconectado. Esta cuestión de la mina muestra que $x \mapsto \mathfrak p_x$ define un bijection $G \rightarrow \operatorname{spec}R$ donde $R$ $\mathbb Q$- álgebra de localmente constante de las funciones de $G \rightarrow \mathbb Q$.

Este bijection es además fácilmente visto para ser un homemorphism de espacios topológicos. Y por otra parte, es fácil ver que $G \times G$ se identifica con $\operatorname{spec} R \otimes_{\mathbb Q} R$, como mi respuesta se muestra aquí. Es decir, $(x,y)$$(\mathfrak p_x, \mathfrak p_y)$$\mathfrak p_x \otimes R + R \otimes \mathfrak p_y$.

Ahora quiero decir que $G$ es, naturalmente, un esquema de grupo sobre $\mathbb Q$. Es este el caso? Primero es necesario mostrar que la multiplicación y la inversión de los mapas de $G \times G \rightarrow G, G \rightarrow G$ son morfismos de los esquemas de más de $\mathbb Q$, y luego demostrar que satisface los axiomas de un esquema de grupo.

Creo en primer lugar que el $\mathbb Q$-álgebra homomorphism $R \rightarrow R \otimes_{\mathbb Q} R$ que proviene de la multiplicación $G \times G \rightarrow G$ debe ser algo como esto: si $f \in R$, entonces el mapa de $(x,y) \mapsto f(x,y)$ es localmente constante de la función $G \times G \rightarrow G$. Por lo tanto, corresponde a un único elemento de $R \otimes_{\mathbb Q}R$.

La inversión debe ser similar: $R \rightarrow R$ acaba de enviar un mapa de $f: G \rightarrow \mathbb Q$ a la mapa $x \mapsto f(x^{-1})$.

Answer 1

Sí, esto es correcto. Aquí es un resultado más amplio que está en el fondo, lo que yo dije en mi respuesta anterior.

Deje $K$ ser un campo. Deje $\mathbf{Stone}$ ser la categoría de profinite conjuntos (aka totalmente desconectado compacto Hausdorff espacios) y deje $\mathbf{Idem}_K$ ser la categoría de $K$-álgebras de que son generados por idempotents. A continuación, $\mathrm{Spec}:\mathbf{Idem}_K^{op}\to\mathbf{Stone}$ $LC:\mathbf{Stone}\to\mathbf{Idem}_K^{op}$ inverso de equivalencias de categorías, donde $LC(X)$ $K$- álgebra de localmente constante de las funciones de $X\to K$.

De ello se sigue inmediatamente a partir de este resultado, que si $G$ es un profinite grupo (que puede ser pensado como un objeto de grupo en $\mathbf{Stone}$), a continuación, $LC(G)$ es un cogroup objeto en $\mathbf{Idem}_K$. Pero $\mathbf{Idem}_K$ es cerrado bajo colimits de $K$-álgebras, y, en particular, cerrado bajo tensor de productos de $K$-álgebras. Por lo tanto $LC(G)$ es un cogroup objeto en $K$-álgebras, y por lo que su espectro (cuyo subyacente espacio es $G$) es un esquema de grupo.

---

Aquí, entonces, es una prueba de que $LC$ $\mathrm{Spec}$ son inversos. En primer lugar, $LC(X)$ es siempre generado por idempotents (cualquier localmente constante función toma un número finito de valores de compacidad, y así que es una combinación lineal de funciones características de clopen conjuntos). En segundo lugar, si $A$ $K$- álgebra generada por idempotents, tenga en cuenta que si $P\subset A$ es un alojamiento ideal, entonces para cada idempotente $i\in A$, $i\in P$ o $1-i\in P$ (pero no ambos). Si $I\subseteq P$ es el ideal generado por el idempotents en $P$, entonces, cada idempotente mapas a $0$ o $1$$A/I$, y por lo tanto, cada elemento de a $A$ se asigna a un elemento de $K$$A/I$. Por lo tanto $A/I\cong K$, lo que implica $P=I$ $P$ es máxima con el residuo de campo $K$. De ello se deduce que un primer ideal es determinado por el idempotents que contiene, lo que implica $\operatorname{Spec} A$ está totalmente desconectada y, por tanto, de hecho da un objeto de $\mathbf{Stone}$.

Además, ahora hay una natural mapa de $f:A\to LC(\operatorname{Spec} A)$: cualquier elemento $a\in A$ determina una función $\operatorname{Spec} A\to K$ tomando su imagen en cada uno de los residuos de campo. Esta función es localmente constante si $a$ es idempotente, y por lo tanto localmente constantes arbitrarias $a$. Este mapa $f$ es surjective desde su imagen contiene todos los idempotents de $LC(\operatorname{Spec} A)$ (para cualquier clopen subconjunto de $\operatorname{Spec} A$, no es un idempotente de $A$). El núcleo de $f$ es la intersección de todos los primer ideales de $A$, es decir, el nilradical. Para probar que esto es $0$ (es decir, $A$ es reducido), tenga en cuenta que cualquier elemento de a $A$ es una combinación lineal de idempotents. Por otra parte, estos idempotents puede ser "subdivide" ser ortogonales (por ejemplo, si $e$ $f$ son idempotente y $c$ $d$ son escalares, entonces $ce+df=ce(1-f)+d(1-e)f+(c+d)ef$, donde $e(1-f)$, $(1-e)f$, y $ef$ son ortogonales idempotents). Por lo que cualquier $a\in A$ tiene la forma $\sum c_ie_i$ para algunos distinto de cero elementos $c_i\in K$ ortogonal y idempotents $e_i$. Pero entonces, si $b=\sum c_i^{-1}e_i$,$a^2b=a$. Así que si $a^2=0$,$a=0$, lo que implica $A$ es reducido.

Así, hemos demostrado que la $LC \circ \operatorname{Spec}$ es naturalmente isomorfo a la identidad. El isomorfismo natural para la otra composición es lo más natural homeomorphism $X\to \operatorname{Spec} LC(X)$ a partir de la pregunta anterior que usted ha mencionado, el envío de $x$ a el ideal de las funciones de fuga en $x$.