Determinante de un $n \times n$ matriz

Question

En mi clase de álgebra lineal, mi profesor nos dio este determinante para practicar:

$$det\pmatrix {1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 2 & 3 & 4 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ n & 1 & 2 & \dots & n-1}$$

Donde el $i$ -la fila o columna es el conjunto $$\{1,2,\dots,n\}$$ desplazado $i-1$ veces a la izquierda.

Nos recomendó añadir filas $2$ a través de $n$ a la fila $1$ . Y luego factorizar la constante. Esto da como resultado:

$$\frac{n(n+1)}{2}det\pmatrix {1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 3 & 4 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ n & 1 & 2 & \dots & n-1}$$

Sin embargo, no puedo encontrar una manera útil de simplificar esto. He probado a sumar la primera columna a cada una de las siguientes, a restar la primera fila de cada una de las siguientes, pero nada parece simplificar la matriz. Tal vez, hay una solución inductiva, pero no he sido capaz de encontrar uno simplemente de la $2\times2$ y $3\times3$ casos.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizamos el hecho de que la multiplicación de la fila $i$ por $\lambda \neq 0$ y luego añadirlo a la fila $j$ no cambia el determinante de la matriz.

Además, al multiplicar la fila $i$ por $\lambda \neq 0$ también multiplica el determinante por $\lambda$ . Así,

\begin{align} \ & det\pmatrix{1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 2 & 3 & 4 & \dots & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 1 & 2 & \dots & n-1} \\ \ & = \frac{n(n+1)}{2} det\pmatrix{1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 3 & 4 & \dots & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 1 & 2 & \dots & n-1} && \text{as you have} \\ \ & = \frac{n(n+1)}{2} det\pmatrix{1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n-3 & n-2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n-3 & -2 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 2-n & \dots & -3 & -2 & -1\\0 & 1-n & 2-n & \dots & -3 & -2 & -1} \\ \ & = \frac{n(n+1)}{2} det\pmatrix{1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n-3 & n-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & -n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -n & -n & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & -n & \dots & -n & -n & 0\\0 & -n & -n & \dots & -n & -n & 0} \\ \ & = \frac{n(n+1)}{2} det\pmatrix{1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n-3 & n-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & -n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -n & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & -n & \dots & 0 & 0 & 0\\0 & -n & 0 & \dots & 0 & 0 & 0} \\ \ & = \frac{(-1)^nn^{n-1}(n+1)}{2} det\pmatrix{1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n-3 & n-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0} \\ \ & = \frac{(-1)^nn^{n-1}(n+1)}{2}\cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \; \cdots \cdot 1 \cdot -1)(-1)^{\lceil n/2 \rceil +1} \\ \ & = \frac{(-1)^{n+\lceil n/2 \rceil}n^{n-1}(n+1)}{2} \end{align}

donde la penúltima línea utiliza la fórmula de permutación para el determinante.

La fórmula de permutación da el resultado indicado porque, como he explicado en la sección de comentarios, hay que elegir una entrada de cada fila y columna y calcular su producto.

Pero en la última fila, tenemos que elegir el $1$ para no obtener un producto de $0$ . Del mismo modo, con la penúltima fila, hasta la tercera.

Hasta ahora, hemos elegido una entrada de cada una de las columnas $2$ a $n-1$ por lo que tenemos que elegir una entrada de las columnas $1$ y $n$ en las dos filas restantes. En la segunda fila, sólo podemos elegir el $-1$ en el extremo derecho para evitar un $0$ producto, lo que significa que sólo podemos elegir el $1$ en la primera columna de la primera fila.

Este producto es $1\cdot 1\cdot 1\dots 1\cdot -1 \cdot 1=-1$

La paridad de esta permutación es par si $n=1,2,5,6,9,10,\dots$ y es impar si $n=3,4,7,8,11,12,\dots$ Así que $sgn (\sigma) = (-1)^{\lceil n/2 \rceil +1}$ , lo que hace que el determinante de la matriz reducida sea $-1 \cdot (-1)^{\lceil n/2 \rceil +1} = (-1)^{\lceil n/2 \rceil}$