Es allí cualquier explícito de la serie, producto, integral, continua fracción o de cualquier otro tipo de expresión para el momento en que $\Gamma(x)$ tiene un mínimo en $(0,1)$?
El valor decimal se puede encontrar aquí http://oeis.org/A030169, pero no he encontrado mucha información, o en otras fuentes.
Este es el punto de $a \in (0,1)$ tal forma que:
$$\psi(a)=0$$
El uso de la representación integral de la función digamma:
$$\psi(1+s)=-\gamma+\int_0^1 \frac{1-t^s}{1-t}dt$$
La introducción de $b=a-1$, podemos deducir que:
$$b \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \zeta(k+2) b^k=\gamma$$
La inversión de este poder de la serie, podemos obtener una potencia de serie para $b$ en términos de Euler-Mascheroni constante, sin embargo, es un proceso largo y tedioso y no nos da una fórmula explícita.
Hay una muy antigua relacionados con la cuestión, sin embargo estoy pidiendo una mayor resultado en particular.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se sabe que $$\psi\left(\dfrac32\right) = \gamma - 2\ln2 + 2 = y_0 \approx 0.03648\ 99740,\tag1$$ $$\psi'\left(\dfrac32\right) = \dfrac12\pi^2-4 = d_1\approx 0.93480\ 22005,\tag2$$ $$\psi^{(n)}\left(\dfrac12\right) = (-1)^{(n+1)}n!\left(2^{n+1}-1\right)\zeta(n+1),\quad n= 1,2,\dots\tag3$$ $$\psi^{(n)}(z+1) = \psi^{(n)}(z) + (-1)^n\dfrac{n!}{z^{n+1}},\tag4$$ en $(3)-(4)$ conduce a $$\psi^{(n)}\left(\dfrac32\right) = (-1)^{(n+1)}n!\a la izquierda(2^{n+1}-1\right)\zeta(n+1)+(-1)^nn!2^ {n+1}= d_n,\quad n = 2,3,\dots,\tag5$$ $$d_2=16-14\zeta(3)\approx -0.82879\ 66442,\quad d_3 = \pi^4-96\approx 1.40909\ 10340.\tag6$$ Deje $v(y)$ es la función inversa a $\psi\left(x\right),$ $$\left\{\begin{align} &v(y_0) = \dfrac32\\ &v'_y(y)= \dfrac{dv}{dy} = \dfrac1{\psi'(x)},\\ &v'(y_0) = \dfrac1{\psi'(x)}\bigg|_{x=3/2} \ = \dfrac1{d_1}\\ &v''_{y}(y)= \left(v'_y(y)\right)^{'}_y = \left(\dfrac1{\psi'(x)}\right)^{'}_x\dfrac1{\psi'(x)} = -\dfrac{\psi''(x)}{(\psi'(x))^3},\\ &v''(y_0) = -\dfrac{\psi''(x)}{(\psi'(x))^3}\bigg|_{x=3/2} = -\dfrac{d_2}{d_1^3}\\ &v'''_{y}(y)= \left(v''_y(y)\right)^{'}_y = \left(-\dfrac{\psi''(x)}{(\psi'(x))^3}\right)^{'}_x\dfrac1{\psi'(x)} = \dfrac{3\psi''(x) - \psi'''(x)\psi'(x)}{(\psi'(x))^5},\\ &v'''_{y}(y_0)= \dfrac{3\psi''(x) - \psi'''(x)\psi'(x)}{(\psi'(x))^5}\bigg|_{x=3/2} = \dfrac{3d_2-d_1d_3}{d_1^5}\dots \end{align}\right.\tag7$$ Por lo tanto, $$v(y)=\dfrac32 + \dfrac{y-y_0}{d_1} - \dfrac12\dfrac{d_2}{d_1^3}(y-y_0)^2 + \dfrac16\dfrac{3d_2-d_1d_3}{d_1^5}(y-y_0)^3 +\dots,\tag8$$ $$a = v(0) \approx 1.46168.$$ Valor exacto de $a$ $1.46163\ 21449\ 68362\dots$
