Congruencia con los números de Bernoulli

Question

Necesito demostrar que $$2B_{2m}\equiv1\pmod{4}$$ para $m\ge2.$ Esto debería ser algo fácil usando (como mucho) el teorema de Claussen y von Staudt, pero aún no he tenido éxito. Escribir $B_{2m}=U_{2m}/V_{2m},(U_{2m},V_{2m})=1,V_{2m}>0$ Lo sé. $$V_{2m}\equiv2U_{2m}\pmod4,$$ pero como $2\mid V_{2m},$ esto no es muy útil. También quería probar el lema de elevación de Hensel para $f(x)=2x-1$ (porque $2B_{2m}\equiv1\pmod2$ se mantiene), pero $f'(x)\equiv0\pmod2,$ por lo que este no es el camino correcto también. ¿Algún otro consejo?

Observación. Necesitaba este resultado para terminar el siguiente problema.

Dejemos que $q$ sea un número primo tal que $2q+1$ es compuesto. Demuestre que el numerador del número de Bernoulli $B_{2q}$ es divisible por un primo de la forma $4n+3$ .

La congruencia mencionada anteriormente es un último paso en mi solución.

Answer 1

Tenga en cuenta que para $n\geq 2$ $$0=2\sum_{k=0}^{2n}\binom {2n+1}kB_k=1-2n+\binom{2n+1}{2}\frac{1}{3}+\sum_{k=2}^{n-1}\binom{2n+1}{2k}(2B_{2k})+(2n+1)(2B_{2n}).$$ Ahora bien, si $2B_{2m}\equiv 1\pmod{4}$ para $m=2,\dots,n-1$ entonces $$(2n+1)(2B_{2n})\equiv -1+2n-3\binom{2n+1}{2} -\sum_{k=2}^{n-1}\binom{2n+1}{2k}\\=-4^n-4n^2+2n+1\equiv 2n+1\pmod{4}.$$ y, como $(2n+1)$ es impar, se deduce que $2B_{2n}\equiv 1\pmod{4}$ .

Answer 2

Por La fórmula de Faulhaber para el $2m$ - de las potencias, $$2^{2m}+1=\frac1{2m+1}\left(2^{2m+1}+\frac{2^{2m}}2+\cdots +(2m+1)2B_{2m}\right).$$ Todos los términos menos el término son múltiplos de $4$ por lo que obtenemos $1\equiv 2B_{2m} \pmod4$ .