¿Por qué la función exponencial es la más importante?

Question

En el prólogo de su Análisis real y complejo, Walter Rudin afirma de hecho que $ \exp $ es la función más importante de las matemáticas (tomad nota, no sólo en el análisis). Esto me pareció tan increíble, y demasiado para afirmarlo (de la infinita variedad de funciones matemáticas concebibles que se extienden más allá de la cartografía de subconjuntos de $ \mathbb {C}$ a otros subconjuntos similares) que empecé a preguntarme si este sentimiento es común (escuché a un profesor de matemáticas diciendo que es la segunda función más importante - dijo esto sólo como una idea de último momento; de hecho había afirmado que era la más importante) y si es así, qué podría distinguir esta función de esta manera.

Así que mi pregunta es doble:

1. ¿Cree usted, o es de conocimiento común para los matemáticos, que la función exponencial es de hecho la más importante en todas las matemáticas?

2. Si es así, ¿por qué es este el caso? ¿Qué podría hacerlo más importante que todas las funciones concebibles e inconcebibles (enlazando pares arbitrarios de conjuntos) que existen?

Gracias.

Answer 1

Para responder a su segunda pregunta:

Toda nuestra civilización depende de nuestra capacidad para modelar y manipular el entorno.

La función exponencial natural es la base de esta capacidad. Resuelve la ecuación diferencial ordinaria prototípica $x' = \lambda x$ y su extensión a las matrices resuelve el sistema $x' = Ax$ . Esto permite analizar y comprender problemas de mecánica clásica, electromagnetismo y acústica.

En particular, sin la comprensión de la función exponencial natural no habría infraestructura, ni transporte mecánico, ni electricidad.

Unas matemáticas más sofisticadas nos han permitido desarrollar la mecánica cuántica y la criptografía. La utilidad de estos temas es indiscutible, pero también son irrelevantes hasta que se alcanza un determinado nivel tecnológico. Resolver las leyes del movimiento de Newton es útil en una fase de desarrollo mucho más temprana.

Para responder a su primera pregunta:

No, no creo que esto sea un conocimiento común para todos los matemáticos. Es necesario tener conocimientos de la historia de la ciencia y la tecnología para apreciar la importancia de la función exponencial natural.

Answer 2

Voy a añadir a las preguntas 1. y 2. anteriores una pregunta 0.,

$$ ----- $$ PREGUNTA 0.   ¿En qué sentido podemos hablar de una noción matemática, digamos una función $\,F,\,$ ¿es el más importante de todos ellos? $$ ----- $$

Se puede hablar de la ubicuidad de $\, F,\, $ o sobre su necesidad lógica de tipo ingenieril, etc.

Hace tiempo me hice esta pregunta en MO en el contexto de la educación. Pregunté sobre el lugar/función crucial que es un punto central para el aprendizaje de las matemáticas. Se apunta a él, y luego se va desde allí en todas las direcciones posibles.

Francamente, he preguntado por dos etapas. La primera era el campo de los números complejos $\,\Bbb C.\,$ Y también tenía mi propia respuesta para la 2ª etapa escondida, esperando las reacciones de los demás. Por supuesto, uno (¿o más?) de los participantes mencionó la complejo función exponencial -- por supuesto complejo ya que tenía que seguir el campo de los números complejos.

Mi propia respuesta fue casi equivalente, considero que esta función más importante es el logaritmo complejo.

Volvamos a las preguntas del candidato.

$$ ----- $$ PREGUNTA 1.   ¿Cree usted, o es de conocimiento común para los matemáticos, que la función exponencial es efectivamente la más importante de todas las matemáticas? $$ ----- $$

Ciertamente, algunas personas dirían que el función zeta es el más importante. Codifica muy bien los secretos de los números primos.

Yo consideraría el función de partición de la física estadística al menos tan importante como cualquier otra. Es el ingrediente fundamental de la ley fundamental de la mecánica estadística. Richard Feynman dijo:

• ... todo el tema es la bajada de esta cumbre ... o la subida ...*

(por supuesto, la función exponencial sirve fielmente a la función de partición).

Por lo tanto, para responder a la P1, es NO es de conocimiento común, y por dos razones. (A) la gente simplemente no sabe o no se preocupa de pensar en estas cuestiones; (B) algunos matemáticos pueden tener una opinión diferente, todo depende.

Sin embargo, si hablamos de aprender matemáticas y tener una amplia camino abierto para hacer investigación que de hecho el logaritmo complejo sería it .

$$ ----- $$ PREGUNTA 2.   Si es así, ¿por qué este ¿el caso? ¿Qué puede hacer que sea más importante que todas las funciones concebibles e inconcebibles (que unen pares arbitrarios de conjuntos) que existen? $$ ----- $$

Esta pregunta es en realidad dos cuestiones: la interna (atómica) y la externa (la visión del mundo). A saber: (A) ¿Qué tiene de maravilloso el haciendo de la función $\,\log\,$ (sobre su estructura/construcción) que esta construcción es tan útil en torno a las matemáticas? (B) ¿Cuáles son los logros cruciales de la función $\, \log\, $ y cuán profundamente $\, \log\, $ está entrelazado con casi todas las matemáticas?

(A)   La respuesta interna, desde el interior de $\,\exp/\log,\,$ es que conectan estrechamente los dos más importantes elemental operaciones, la suma compleja y la multiplicación, es un verdadero milagro (sin el cual las matemáticas no serían lo mismo).

(B)   En primer lugar, tenemos que hablar del campo de los números complejos $\,\Bbb C\,$ -- proporciona todo el alcance para $\,\exp/\log.\ $ En particular, $\,C\,$ es verdaderamente geometría plana euclidiana. Es una gran pena que a los niños no se les enseñe Geometría Euclidiana a través de los números complejos, dominarían los números complejos y la Geometría Euclidiana al final del 5º gran, sin sudar (bueno, pobres profesores, pero eso es otra historia).

Ahora, $\ \exp/\log\ $ son la primera función trascendental, no son no son algebraicas (no se pueden obtener mediante las cinco operaciones aritméticas), y forman un puente recto entre el álgebra y el análisis; se puede decir -- entre la finitud y el infinito.

La función logarítmica está en el inicio de la topología algebraica. Ahí es donde brillan las verdaderas maravillas de la topología y su complejidad. Quizá recuerdes el teorema de Eilenberg sobre la disección de $\, Bbb\,$ que es un concierto interpretado con dos instrumentos, $\, \exp\,$ y $\,\log.$

Por supuesto, estas dos funciones aparecen en cualquier lugar que se mire, por ejemplo, en álgebra, combinatoria, geometría, probabilidad, mecánica estadística, ...

Uno podría alabar a estos dos tipos eternamente.

PS   La Mecánica Estadística es tan rica y completa que si los matemáticos se limitaran sólo a la Mecánica Estadística, apenas habría diferencia, no se perderían gran cosa.