Probabilidad de que dos bolas retiradas sean del mismo color

Question

Supongamos que tenemos $n$ blanco y $m$ bolas negras en una urna. En primer lugar, saca dos bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad (llámala $P_1$ ) que son del mismo color? Ahora, supongamos que se saca una bola al azar y se sustituye antes de sacar la segunda, ¿cuál es la probabilidad (llámese $P_2$ ) que las bolas retiradas son del mismo color? Por último, demuestre que $P_2 > P_1$ .

pruebe con

Para la primera situación el tamaño del espacio muestral es ${m + n \choose 2 }$ . Ahora, ¿de cuántas maneras podemos retirar las bolas del mismo color? Si ambas son blancas, entonces se puede hacer esto en ${n \choose 2}$ maneras y si ambos son negros pueden hacer en ${m \choose 2}$ . Así,

$$ P_1 = \frac{ {m \choose 2 } + {n \choose 2} }{ {m+n \choose 2 } } $$

Ahora, para la segunda situación, dos casos. Si la primera bola extraída es blanca, la probabilidad de que esto ocurra es ${n \choose 1 } / {m+n \choose 1 } = \frac{n}{m+n} $ . Para la segunda bola queremos que sea blanca por lo que se puede hacer en ${n-1 \choose 1 } / {m+n-1 \choose 1 } = \frac{n-1}{m+n-1} $ por lo que para este caso tenemos $\frac{n(n-1) }{(m+n)(m+n-1)}$ . Del mismo modo, si la primera bola extraída es negra, obtenemos la probabilidad $ \frac{m(m-1) }{(m+n)(m+n-1)}$ .así,

$$ P_2 = \frac{ m(m-1) + n(n-1) }{(m+n)(m+n-1) } $$

Pero, estoy atascado en tratar de probar $P_2 > P_1$ . ¿Es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Cuando se trabaja sin reemplazo, podemos seleccionar $2$ bolas blancas con probabilidad

$$\frac{n}{n+m}\cdot\frac{n-1}{n+m-1}$$

o $2$ bolas negras con probabilidad

$$\frac{m}{n+m}\cdot\frac{m-1}{n+m-1}$$

dando $$P_1=\frac{n}{n+m}\cdot\frac{n-1}{n+m-1}+\frac{m}{n+m}\cdot\frac{m-1}{n+m-1}$$

que es equivalente a lo que tú has hecho.

Cuando se trabaja con reemplazo, la probabilidad no cambia después del primer sorteo dando

$$P_2=\frac{n}{n+m}\cdot\frac{n}{n+m}+\frac{m}{n+m}\cdot\frac{m}{n+m}$$

Basta con demostrar que para dos enteros positivos $$\frac{x}{x+y}\gt\frac{x-1}{x+y-1}$$

¿Puedes ir desde aquí?

Answer 2

Usted está en el camino correcto para $P_1$ , dibujo sin sustitución .

A continuación, observe que $\dbinom{x}{2}=\dfrac{x\,(x-1)}{2!}$ y así

$$P_1 ~{=\dfrac{\binom m2 +\binom n2}{\binom{m+n}2} \\ = \dfrac{m(m-1)+n(n-1)}{(n+m)(n+m-1)}}$$

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Sin embargo, $P_2$ necesita ser repensado. (Fíjate que realmente has evaluado la primera situación )

Recuerde, es dibujo con sustitución .   Eso significa que no lo hará tener una bola menos en el sorteo posterior (como ha sido sustituido ).

Answer 3

Como en la parte 2 se sacan las bolas con reemplazo, no es necesario modificar el número de bolas que se eligen. El número de formas de elegir 1 bola de entre n bolas es ${n}\choose{1}$ . El número de posibilidades de la misma cosa dos veces es ${{n}\choose{1}}^2$