Extremos de un infinito producto de funciones sinc

Question

Considere la función $$f(x)=\prod_{n=0}^\infty\operatorname{sinc}\left(\frac{\pi \, x}{2^n}\right),\tag1$$ donde $\operatorname{sinc}(z)$ denota la función de sinc. Surge como una transformada de Fourier de la Rvachev $\operatorname{up}(x)$ función, que es, básicamente, un desplazado de la versión de la Fabius función (véase, por ejemplo, $^{[1]}$$\!^{[2]}$$\!^{[3]}$). Curiosamente, si se toma un número finito de producto parcial de$(1)$, con al menos 2 de los términos, su transformada de Fourier será una continua por tramos función polinómica con finito de apoyo (y continuo con los derivados de la cada vez más elevados de los pedidos, ya podemos incluir más términos).

Restringimos nuestra atención sólo a $x\ge0$. La función de $f(x)$ tiene ceros en los enteros positivos, y oscila con una rápida descomposición de la amplitud. Sus signos en los intervalos entre ceros consecutivos seguir el mismo patrón que el Thue–Morse secuencia. Parece que $f(x)$ tiene exactamente un extremo en cada intervalo de entre ceros consecutivos (mínimo o máximo, dependiendo de su signo en el intervalo) -, pero no he sido capaz de encontrar una rigurosa prueba de ello. Se puede proponer?

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Actualización: he extraído la segunda parte de mi pregunta original en un aparte de uno y editado de manera significativa. La siguiente es sólo una observación interesante:

Deje que nos indican el valor del extremo en el intervalo de $n<x<n+1$$\epsilon_n$. Los valores absolutos de la extrema ($|\epsilon_n|$ por lo general, tienden a disminuir a medida $n$ aumenta, pero no disminuyen estrictamente monótona y, de hecho, muestran bastante irregular comportamiento, a veces, aumentando de forma esporádica. Aquí es cómo el gráfico se ve en escala logarítmica:

Answer 1

Sobre la primera pregunta, una idea podría ser la de utilizar el producto de Weierstrass

$$\text{sinc}\left(\frac{\pi z}{2^n}\right)=\prod_{m\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{(2^n m)^2}\right)$$ tal que $$ f(z)=\prod_{n\geq 0}\text{sinc}\left(\frac{\pi z}{2^n}\right)=\prod_{m\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{m^2}\right)^{\nu_2(m)+1} $$

$$ f'(z) = -2z\left(\sum_{m\geq 1}\frac{\nu_2(m)+1}{m^2-z^2}\right)\prod_{m\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{m^2}\right)^{\nu_2(m)+1}.$$ El plazo $-\sum_{m\geq 1}\frac{\nu_2(m)+1}{m^2-z^2}$ tiene una simple polo positivo de residuos en cada una de las $m\in\mathbb{N}^+$. En particular, dicha función es creciente en los componentes conectados de su dominio $\cap \mathbb{R}^+$ y no puede haber más de un punto fijo para $f$ entre dos ceros consecutivos.

La presencia de la leve errático función de $\nu_2$ también explica la aparente irregularidad en la distribución de los estacionarias valores de $f$. Por otro lado, por la fórmula anterior para $f'$ (que esencialmente es una reformulación de la Gauss-Lucas teorema) es razonable esperar que los puntos estacionarios convergen a los puntos medios de los intervalos definidos por los ceros de $f$, por lo tanto una estimación de la descomposición de la estacionario valores pueden ser realizados por sumación por partes, teniendo en cuenta el promedio de los valores de $\nu_2$ más grande y más grande de los intervalos.