Deje $X = \mathbb{R}^2$ y definir una función $d : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ $d((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \max( |y_1 - x_1|, |y_2 - x_2|)$, where $\max(a, b)$ is the maximum of $$ and $b$.
No sé si la siguiente prueba es correcta y agradecería que la gente podría, por favor tome el tiempo para revisar.
En cada paso, he hecho mi mejor esfuerzo para explicar mi razonamiento. Si hay algo acerca de mi entendimiento de que es incorrecta y/o falta, yo estaría muy agradecido por la explicación.
La Prueba
Deje $x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2), z = (z_1, z_2)$.
Queremos mostrar que $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$; en otras palabras, que la función de $d$ satisface la desigualdad de triángulo.
$d(x, z) = \max(|z_1 - x_1|, |z_2 - x_2|)$ (Por la definición de $d$.)
Vamos a empezar por mirar a $|z_1 - x_1|$ $|z_2 - x_2|$ por separado.
- El caso de $|z_1 - x_1|$ sigue.
$|z_1 - x_1| \leq |z_1 - y_1| + |y_1 - x_1|$ (Por el triángulo de la desigualdad de la $\mathbb{R}$.)
$\leq \underbrace{\max(|z_1 - y_1|,|z_2 - y_2|)}_\text{This is $d(y, z)$, which is $\ge \ |z_1 - y_1|$} \ + \underbrace{\max(|y_1 - x_1|,|y_2 - x_2|)}_\text{This is $d(x, y)$, which is $\ge \ |y_1 - x_1|$}$
- El caso de $|z_2 - x_2|$ sigue.
$|z_2 - x_2| \leq |z_2 - y_2| + |y_2 - x_2|$ (Por el triángulo de la desigualdad de la $\mathbb{R}$.)
$\leq \underbrace{\max(|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|)}_\text{This is $d(y, z)$, which is $\ge \ |z_2 - y_2|$} \ + \underbrace{\max(|y_1 - x_1|, |y_2 - x_2|)}_\text{This is $d(x, y)$, which is $\ge \ |y_2 - x_2|$}$
Ahora vamos a llevar a todos juntos a estado a la conclusión:
$\therefore d(x, z) = \max(|z_1 - x_1|, |z_2 - x_2|)$
$\leq \underbrace{\max(|y_1 - x_1|, |y_2 - x_2|)}_\text{This is $d(x, y)$} \ + \underbrace{\max(|z_1 - y_1|,|z_2 - y_2|)}_\text{This is $d(y, z)$} = d(x,y) + d(y, z)$
He pasado una enorme cantidad de tiempo en tratar de entender este problema, así que te agradecería mucho los comentarios.
Dado que el tipo de los revisores, se indica que la prueba es correcta, quiero escribir una pequeña nota-a-sí-mismo (y futuras de los espectadores) que explica lo que fue un malentendido.
Cuál Fue Mi Malentendido?
Lo que yo no estaba viendo era lo que necesitábamos para mostrar que cada término en $d(x, z) = \max(|z_1 - x_1|, |z_2 - x_2|)$ -- $|z_1 - x_1|$ y $|z_2 - x_2|$ -- debe ser $\le d(x, y) + d(y, z)$. Por qué? Porque si se demuestra que $|z_1 - x_1| \le d(x, y) + d(y, z)$$|z_2 - x_2| \le d(x, y) + d(y, z)$, entonces tenemos que $d(x, z) = \max(|z_1 - x_1| \le d(x, y) + d(y, z), |z_2 - x_2| \le d(x, y) + d(y, z))$. Por las propiedades de la $\max()$ función, esto implica que $d(x, z)$ puede en la mayoría de los ser $\le d(x, y) + d(y, z)$! Así que, esencialmente, lo que hemos hecho aquí es encontrar una cota superior para cada uno de los argumentos de la $\max()$ función, $|z_1 - x_1|$$|z_2 - x_2|$.
