Si la derivada de f es continua, entonces f es continua.

Question

He buscado mucho, pero no he encontrado ninguna prueba acerca de esa declaración. He comprobado la prueba de "Si f es diferenciable, entonces f es continua", pero no es el mismo argumento que yo pienso. También, ¿cuál es tu opinión acerca de la afirmación "Si la derivada de f no es continua, entonces f no es continua"?

Answer 1

Si $f$ es diferenciable, entonces la $f$ es continua. La continuidad de $f'$ es irrelevante aquí.

En particular, incluso si $f'$ es discontinuo, $f$ es continua.

Answer 2

Tu problema parece ser la lógica de las relaciones entre las declaraciones

1. Si f es diferenciable, entonces es continua
2. Si la derivada de $f$ es continuo, $f$ es continua
3. Si la derivada de $f$ no es continuo, $f$ no es continua.

La primera declaración implica trivialmente el segundo, como diciendo: "la derivada de $f$ es continuo" es lo mismo que decir "$f$ es diferenciable y $f^{\prime}$ es continuo".

El contrapositivo de la tercera instrucción es "Si $f$ es continua, entonces la derivada de $f$ es continuo." Esto es falso. Por ejemplo, la función $$f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$ es diferenciable en todas partes, con derivados $$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array} 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)& x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array}\right.$$ Pero $\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)$ no existe, por lo tanto $f^{\prime}$ no es continua.

Answer 3

$f'$ no necesita ser continua.

Supongamos que $f'(x)$ existe en el intervalo de $(a,b)$. Si $\xi \in (a,b)$, $f'(\xi)$ existe. Por lo tanto $f$ es continua en a $\xi$. Como esto es cierto para todos los $\xi$$(a,b)$, $f$ es continua en a $(a,b)$.

Answer 4

Responder sólo a una parte de la pregunta: "Si la derivada de f no es continua, entonces f no es continua": Como tal vez el más sencillo de los contra-ejemplo, el valor absoluto de la función es continua pero no continuamente diferenciable.

Esto no refuta la declaración opuesta, por supuesto.