$\frac{dx}{dt}, \frac{dx}{d\frac{dx}{dt}}, \frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}}}$ ad infinitum a $\sqrt{2x}$

Question

En primer lugar, para un número finito de dicha torre, decir $n$ profundo, suponiendo que no existen divisiones por $0$ a ponerse en el camino

$$\frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{d ...}}} = \frac{dx}{dt}(\frac d{dt}(\frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{d ...}}}))^{-1} = \frac{\frac{dx}{dt}}{\frac d{dt}\Big(\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac d{dt}\Big(\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac d{dt}(...)}\Big)}\Big)}$$

La parte inferior de la torre es el

$$ \frac{dx}{d \frac{dx}{dt}} = \frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\frac{dx}{dt}} = \frac{x'}{x''}$$

y podemos, al menos en principio, el trabajo de la espalda hasta la parte superior de tener a toda la torre se expresa como hasta $n^{th}$ derivados. Me hizo escribir lo que el siguiente capas se vería, pero no podía ver nada bonito patrón.

Ok, así que ahora, mi pregunta es si sería en ningún sentido significativo a considerar la torre infinita, en cuyo caso el análisis siguiente ocurre:

Escrito $F = \frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{d ...}}}$, tenemos

$$F = \frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dF}{dt}} \implies F = \sqrt{2x + c}$$

Answer 1

Si $x$ $y$ son suaves funciones reales "en $t$", el derivado $\frac{dx}{dy}(t_0)$ sólo tiene sentido para los $t_0$ tal que $y$ es un diffeomorphism en un barrio de $t_0$ que está contenida en el dominio de $x$. (I. e., al $y$ a nivel local es un gráfico de una $1$-dimensiones del colector de alrededor de $t_0$ que $x$ está definido.) En este caso, tenemos la regla^(**)$$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt}$$ Tenga en cuenta que una función real $y$ definida en un intervalo está en todas partes localmente un diffeomorphism iff es suave y estrictamente monótona.

Yo puedo ver sólo una manera de definir el infinitamente a afirmar derivados $$\frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{\ddots}}}$$ que como usted sugiere es por un límite de una secuencia $$(d_nx)_{n \geq 0}=t,\frac{dx}{dt},\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}},\frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}}},\ldots$$

Hay varias preguntas:

1. Para que $x$ todos los $d_nx$ sentido?
2. ¿Esto convergen? ¿En qué sentido? Hay muchas nociones de convergencia de funciones.
3. Si converge a$F$$F = \frac{dx}{dF}$? Se esta expresión de sentido, es decir, se $F$ liso? estrictamente monótona? ... continua?

... y las respuestas parciales:

1. Para todos los $d_nx$ a estar bien definidos en el mismo intervalo de tiempo, necesitamos a todos a ser suave y estrictamente monótona. La suavidad es automática. Ejemplos:
   • Para$x = t$, $d_1 = 1$ $d_2$ no está definido.
   • Para $x = \exp t$, tenemos $d_1 = \exp t$, $d_2=1$, y el otro $d_n$ no tienen ningún sentido.
   • Para $x = t^2$, tenemos $d_1 = 2t$, $d_2 = t$, $d_3 = 2t$, $d_4 = t, \ldots$ Todos ellos se encuentran bien definidos en $\mathbb R$.
   • En general, parece ser que no hay bella fórmula para $d_n$ a prueba si son estrictamente monótona.
2. Como en los ejemplos anteriores, incluso cuando todos los $d_n$ están definidos, la secuencia de necesidad no convergen.
3. Continua $f$ sobre un espacio métrico, el límite de $f(f(f( \cdots x)))$ si existe es necesariamente un punto fijo de $f$. Es nuestra $y \mapsto \frac{dx}{dy}$ continua? Para que la métrica? Por ejemplo, se continua por el local convergencia uniforme de la real funciones analíticas $y$, por Cauchy de la integral de la fórmula.

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(**) Nota de cómo escribir $dx/dt$ $x'$ es compatible con la filosofía de vista de un derivado como la derivada de una función con respecto a otra función, aquí la asignación de identidades $\operatorname{id} : \mathbb R \to \mathbb R$, denotado $t$. Comparar con derivadas parciales en la geometría diferencial, o ya en cálculo multivariable, donde un parcial derivada es la derivada con respecto a una proyección de mapa en un componente del producto cartesiano.

Es decir, una 'variable' es realmente una función, por lo general el mapa de identidad.

La cancelación de la ley es sólo la regla de la cadena: definimos $dx/dy(t_0)$ por $$(x \circ y^{-1})'(y(t_0))=x'(t_0)\cdot(y^{-1})'(y(t_0))$$ where $(y^{-1})'(y(t_0))=1/s'(t_0)$ again by the chain rule applied to $(y\circ y^{-1})'(y(t_0))$

Answer 2

[Pesadamente corregido, lo siento]

La función de $x = \frac 12t^2 + c= \frac12(\frac{dx}{dt})^2$ satisface $\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}} = \frac{dx}{dt}$

por lo que podemos intercambio de $t$$\frac{dx}{dt}$, y en efecto, tenemos $$\frac{d}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}}}}x(\frac{dx}{dt}) = \frac{d}{d\frac{dx}{d\frac{dx}{dt}}}x(\frac{dx}{dt}) = \frac{d}{d\frac{dx}{dt}}x(\frac{dx}{dt}) = x' = t =\sqrt{2x + c}$$

por arbitrariamente altas torres.