¿Por qué la analiticidad es un buen supuesto matemático en relatividad general?

Question

En relatividad general, la continuación analítica de variables reales se utiliza habitualmente para comprender los espaciotiempos. Por ejemplo, la utilizamos para extender el espaciotiempo de Schwarzschild al espaciotiempo de Kruskal, y también para extender al máximo los espaciostiempos de Kerr y Reissner-Nordstrom. También se utiliza como condición esencial para demostrar teoremas, por ejemplo el teorema (véase la p. 92 de estas notas de clase ):

Si $(M, g)$ es estacionaria, no estática y asintóticamente plana, analítica solución a las ecuaciones de Einstein-Maxwell que sea adecuadamente regular en, y fuera de un horizonte de sucesos, entonces $(M, g)$ es estacionario y axisimétrico.

Nótese que se trata de una hipótesis no trivial; es necesaria en la demostración, y muchos teoremas hacen no utilizan el supuesto de analiticidad, es decir, no es algo que se ponga automáticamente.

No veo por qué la analiticidad es un buen supuesto. Matemáticamente, se podría decir que la métrica sólo se define para ser analítica, como se define para ser suave, pero físicamente hay una gran diferencia. La suavidad refleja directamente la observación - una violación de la suavidad requeriría energía infinita como se argumenta aquí . La analiticidad es mucho más fuerte: implica que la totalidad de cualquier espaciotiempo está determinada por un trozo arbitrariamente pequeño del mismo. Aunque creo que hay muchas pruebas de que el mundo real es liso, no veo por qué deberíamos tratarlo como analítico.

Contrasta con otro uso de la analiticidad, en la teoría cuántica de campos. Podemos continuar analíticamente hasta el tiempo imaginario mediante la rotación de Wick y realizar el cálculo allí, para luego volver al tiempo real. En este caso, la analiticidad se utiliza puramente como un dispositivo de cálculo; nunca vemos las soluciones de tiempo imaginario como físicamente "reales".

¿Existe alguna forma de motivar físicamente el supuesto de analiticidad en relatividad general?

Answer 1

¿Por qué la analiticidad es un buen supuesto matemático en relatividad general? Aunque creo que hay muchas pruebas de que el mundo real es liso, no veo por qué deberíamos tratarlo como analítico.

No creo que la analiticidad sea un buen supuesto en la RG, exactamente por la razón que das.

En mi experiencia, la discusión sobre la analiticidad surge con más frecuencia porque estamos hablando de la máxima extensión analítica de un espaciotiempo. El motivo de considerar la extensión máxima es que queremos descartar ejemplos no físicos que parecen geodésicamente incompletos, pero que en realidad son sólo un espaciotiempo geodésicamente completo con un trozo recortado. La razón para hacerla analítica es probablemente el deseo de poder hablar de "la" extensión máxima.

Por ejemplo, supongamos que tengo un espaciotiempo que es la porción del espacio de Minkowski con $t<0$ . (Wald tiene un bonito ejemplo en la p. 148 en el que esto se representa inicialmente como una cierta métrica singular para que no sea inmediatamente obvio lo que es). Queremos poder hablar de "la" extensión máxima de este espaciotiempo y decir que es el espacio de Minkowski. Pero la unicidad puede no cumplirse o puede ser más difícil de demostrar si no exigimos analiticidad. (Es bastante difícil demostrar que el espacio de Minkowski es incluso estable, y creo que Choquet-Bruhat sólo demostraron la existencia y unicidad local, no global, de las soluciones de los problemas de Cauchy en los espaciotiempos de vacío).

Esto es probablemente análogo a querer ampliar la función $e^x$ de la línea real al plano complejo. Si sólo exiges suavidad pero no analiticidad, no tienes unicidad.

No sé hasta qué punto esta analogía se sostiene en detalle, y parece ser cierto que en muchos casos sólo se puede exigir algún tipo de regularidad, pero no analiticidad. Por ejemplo, Hawking y Ellis demuestran la unicidad de los desarrollos máximos para los espaciotiempos de vacío (p. 251) utilizando sólo la suposición de que se trata de un espacio de Sobolev con la métrica en $W^4$ (es decir, a grandes rasgos, que es cuatro veces diferenciable). (¿Probablemente sea su presentación del trabajo de Choquet-Bruhat...?).

Answer 2

Buena pregunta. Una vez le pregunté lo mismo a un postdoc de GR, y me contestó

Ciertamente, la analiticidad me parece un supuesto demasiado restrictivo, y tengo la impresión de que otras personas de mi campo están de acuerdo, pero eso podría ser un sesgo de confirmación. Por poner un ejemplo sencillo, la analiticidad me impide, por ejemplo, arrojar repentinamente materia a un agujero negro. Cualquier perfil de materia debe tener siempre una cola infinita para ser analítico.

Por si sirve de algo, muchos resultados importantes de la RG, como el teorema sin pelo, requieren analiticidad real. Podría decirse que este hecho debilita la relevancia de estos teoremas para describir el mundo real.

Answer 3

Los físicos de verdad no creen en la plenitud de las continuaciones analíticas de las soluciones relativistas generales, pero la razón por la que no lo hacen es que creen que las distribuciones de materia y las condiciones iniciales cortan las partes "malas" de la extensión analítica, así que una vez que entras en la distribución de materia, corta la solución schwarzschild, y la extensión analítica ya no es válida.

Answer 4

En mi opinión, la analiticidad no es un buen supuesto ni en Relatividad General ni en Física en general (piénsese en las transiciones de fase de primer orden en termodinámica, histéresis en electrodinámica, etc.) Aunque la analiticidad no sea un buen supuesto, es un supuesto sin el cual no podríamos progresar. Suposiciones similares en Física son las cuerdas sin masa, el agua seca, etc. No existen en la naturaleza, pero simplifican las ecuaciones, permiten teoremas, etc.

Sabemos que el agua no es seca porque hemos encontrado ejemplos en la naturaleza en los que el agua moja su recipiente. Creo que la búsqueda de métricas no analíticas en la naturaleza se vería impedida por el hecho de que la Relatividad General no es cuantizable. Así que, simplemente tómala como una hipótesis teórica y trabaja con ella hasta que obtengas un resultado que contradiga la observación.

En resumen, las métricas son analíticas porque no hemos medido una que no lo es.

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Actualización

La mentalidad para abordar la Física es diferente de la actitud que se utiliza en Matemáticas. En Física, no nos hacemos preguntas como "¿es el quinto postulado realmente un teorema?". Aunque ese tipo de preguntas son importantes, no son competencia de los Físicos. ¿Se imagina lo que habría ocurrido si la Mecánica Cuántica se hubiera mantenido en suspenso hasta que Schwartz (1951) justificara plenamente la función delta de Dirac (1930)? Más recientemente, utilizamos las teorías de Yang Mills sin preocuparnos por el problema del vacío de masa. Obsérvese que el premio por resolver ese problema lo ofrece el Clay Mathematics Institute y no, por ejemplo, la APS.

El delta de Dirac fue aceptado en la comunidad de físicos por su utilidad en los teoremas. La delta de Dirac pertenece a una clase de abstracciones que aparecen tras un proceso límite. Las cuerdas sin masa son similares en ese sentido. El teorema "la tensión en un extremo de una cuerda sin masa es la misma que la tensión en el otro extremo" no puede aplicarse estrictamente por la sencilla razón de que no existen cuerdas sin masa. Yo diría que la analiticidad es también una abstracción que surge después de tomar límites. Desgraciadamente, la analogía termina ahí porque las funciones no pueden ser "casi analíticas".

Si no se quiere clasificar la analiticidad entre esas "abstracciones que son útiles para el avance de la Física aunque no se den en la naturaleza", entonces la pregunta se vuelve similar a "¿por qué sólo hay dos tipos de carga eléctrica?". La respuesta es entonces similar: diseñar un experimento que ponga a prueba la existencia de un tercer signo de carga eléctrica, conseguir financiación, llevarlo a cabo, publicar los resultados. En este caso, la cuestión es cómo crear/medir métricas no analíticas. Probablemente, creadas por densidades de materia no analíticas. Pero, incluso si pones condiciones iniciales no analíticas, se puede argumentar que todo (excepto la RG) es compatible con la Mecánica Cuántica. En QM, condiciones iniciales no analíticas desarrollan una cola infinita instantáneamente.

Es posible que la pregunta original pueda verse con otra perspectiva. En ese caso, pediría un ejemplo de una pregunta similar en una rama diferente de la Física.

Answer 5

¿Por qué la analiticidad es un buen supuesto en relatividad general?

No lo es.

En relatividad general, la continuación analítica de variables reales se utiliza habitualmente para comprender los espaciotiempos. Por ejemplo, la utilizamos para extender el espaciotiempo de Schwarzschild al espaciotiempo de Kruskal....

Le recomiendo que se siente y lea detenidamente la página 848 de MTW. Ahí es donde puedes ver estos dos diagramas:

Derechos de autor de la imagen W H Freeman and company, editores de Gravitación

Observe atentamente la imagen Schwarschild de la izquierda. ¿Ves cómo está truncada en la parte superior? El cuerpo en inflexión cruza de algún modo el horizonte de sucesos en el tiempo t = infinito. Luego vuelve a bajar por el gráfico, trazando la curva a la izquierda de la línea discontinua vertical. Termina en el punto central de la singularidad en r = 0 en el tiempo propio tau = 35,1 M. Sí, según MTW un cuerpo en inflexión va al final del tiempo y vuelve. Pero eso no es todo. Si miras horizontalmente a través de la carta de Schwarzschild en el tiempo t = 45, te darás cuenta de que el cuerpo infalling está en dos lugares en el mismo tiempo t. Está fuera del horizonte de sucesos con un tiempo propio = 33,3 M, y al mismo tiempo está dentro del horizonte de sucesos con un tiempo propio circa = 34,3 M. Por eso lees sobre el elefante y el horizonte de sucesos donde el elefante está en dos sitios a la vez. La analiticidad no va a arreglar eso. Lo único que hace es empeorar la situación metiendo segundos de tortuga que duran una eternidad. Y luego que se cuente que el cuerpo infalible alcanza el punto de singularidad en un tiempo propio finito. Tiempo propio finito que aún no ha ocurrido. y nunca jamás .

Parafraseando a Newton, que la gravedad conduzca a tales cosas es para mí "un absurdo tan grande que creo que ningún hombre que tenga en materia filosófica alguna facultad competente de pensar puede caer en él" . Pero de nuevo, soy el único por aquí que ha leído los documentos digitales de Einstein.

y también amplían al máximo los espaciotiempos de Kerr y Reissner-Nordstrom.

Ah, los espaciotiempos de Kerr y Reissner-Nordstrom. Veamos otra cuestión al respecto, a saber ¿Qué tiene de inestable el agujero de gusano en la solución de Reissner-Nordström? Ahí es donde encontramos este diagrama de Penrose:

Presenta un universo paralelo, un antiverso, un antiverso paralelo, un agujero de gusano y un agujero blanco. Y mucho más. No entiendo cómo alguien puede tomarse esto en serio ni por un momento. En esta coyuntura realmente me gustaría ser bastante contundente sobre esto. Pero me perdonarán si me callo.

Sin embargo, no entiendo por qué es una buena suposición.

Espero que a estas alturas entiendas por qué no lo es.

Matemáticamente, se podría decir que la métrica sólo está definida para ser analítica, como si estuviera definida para ser suave, pero físicamente hay una gran diferencia. La suavidad refleja directamente la observación: una violación de la suavidad requeriría energía infinita, como se argumenta aquí.

También se podría decir que la métrica es algo abstracto, y que el mapa no es el territorio. Y que si crees que la gravedad puede abrir alguna puerta a algún antiverso paralelo, quizá se te ha caído un punto en alguna parte.

En cambio, las predicciones de la analiticidad, como los "otros universos" en el otro extremo de un agujero negro de Reissner-Nordstrom, nunca se han verificado y, que yo sepa, nunca podrán verificarse.

Knzhou, son una fantasía. Igual que pensar que la puerta de un horno es una puerta al paraíso.

Contrasta con otro uso de la analiticidad, en la teoría cuántica de campos. Podemos continuar analíticamente hasta el tiempo imaginario mediante la rotación de Wick y realizar el cálculo allí, para luego volver al tiempo real. En este caso, la analiticidad se utiliza puramente como un dispositivo de cálculo; nunca vemos las soluciones de tiempo imaginario como físicamente "reales".

La teoría cuántica de campos tiene sus propios problemas. Y me atrevería a decir que son mucho peores de lo que usted cree. Uno para otro día.

La analiticidad me parece poco física porque implica que la totalidad del espaciotiempo está determinada por una parte arbitrariamente pequeña del mismo. ¿Hay alguna forma de explicar por qué las extensiones analíticas de la relatividad general deberían considerarse físicas?

No.