Un operador $A$ se dice que auto-adjoint si $(\chi,A\psi)=(A\chi,\psi)$$\psi, \chi \in D_A$$D_A=D_{A^\dagger}$. Pero para la partícula libre impulso operador $\hat{p}$ estas interior de los productos no existe, sin embargo, sus autovalores son reales. Así, se $\hat{p}$ un auto-adjunto del operador?
¿Por qué son los operadores de la mecánica cuántica en general sin límites?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $\cal H$ es un complejo espacio de Hilbert, y $A :D(A) \to \cal H$ es lineal con $D(A)\subset \cal H$ subespacio denso, hay un único operador, el adjoint $A^\dagger$ $A$ satisfactorio (esta es su definición) $$\langle A^\daga \psi| \phi \rangle = \langle \psi | A \phi \rangle\quad \forall \phi \en D(A)\:,\forall \psi \en D(A^\daga)$$ con: $$D(A^\dagger) := \{ \phi \in {\cal H}\:|\: \exists \phi_1 \in {\cal H} \mbox{ with} \: \langle \phi_1 |\psi \rangle = \langle \phi | A \psi\rangle \:\: \forall \psi \in D(A)\}$$ El de arriba densamente definido por el operador $A$ se dice que auto-adjoint si $A= A^\dagger$. Un densamente definido por el operador de la satisfacción de $$\langle A \psi| \phi \rangle = \langle \psi | A \phi \rangle\quad \forall \psi,\phi \in D(A)$$ se dice que ser simétrica. Está claro que el medico adjunto de $A$, en este caso, es una extensión de $A$ sí.
Un operador simétrico es esencialmente selfadjoint si $A^\dagger$ es auto-adjunto. Es posible demostrar que es equivalente a decir que el $A$ admite un único auto-adjunto de extensión (dado por $(A^\dagger)^\dagger$).
El operador $-i\frac{d}{dx}$ con dominio dado por Schwartz espacio " ${\cal S}(\mathbb R)$ (pero todo sigue sostiene también si el dominio inicial es $C_0^\infty(\mathbb R)$) es simétrica y esencialmente auto-adjunto. Tanto en $-i\frac{d}{dx}$ y el verdadero impulso operador $p:= \left(-i\frac{d}{dx}\right)^\dagger$ son no acotados. Ambos operadores no admiten valores y vectores propios.
El espectro de $p$ es continua y que coincide con la totalidad de la línea real.
Pasando a la transformada de Fourier-Plancherel transformar, el operador $p:= \left(-i\frac{d}{dx}\right)^\dagger$ resulta coincidir con el operador multiplicativo $k \cdot$.
En relación con la cuestión de ilimitado de la mayoría de los auto-adjunto cuántica de los operadores, el punto es que un célebre teorema (una de las posibles versiones de Hellinger–Toeplitz teorema establece que:
un (densamente definido) uno mismo-adjoint operador $A :D(A) \to \cal H$ es acotado si y sólo si $D(A)= \cal H$
y casi todos los los operadores de QM, por diversos motivos, no definida en todo el espacio de Hilbert (a menos que el espacio es finito-dimensional). Estos operadores no son inicialmente definida en todo el espacio de Hilbert, porque por lo general son operadores diferenciales. Operadores diferenciales necesita cierto grado de regularidad para ser aplicados en una función, mientras que el elemento genérico de una $L^2$ espacio es increíblemente no regular (se define a cero-medida de conjuntos). La posterior extensión a la auto-adjunto operadores explota una débil noción de derivada (débil derivada en el sentido de Sobolev) sino que la obtenida dominio más grande es sin embargo muy pequeña con respecto a la totalidad del $L^2$ espacio.
ADENDA. En vista de una notable Andreas Blass' el comentario, creo que vale la pena subrayar un físico más razón para ilimitado de algunos auto-adjuntos a los operadores que representan a los observables en QM.
Primero de todo el espectro de $\sigma(A)$, de un sí mismo-adjoint observable representado por un auto-adjunto del operador $A$ tiene el significado físico del conjunto de todos los posibles valores de los observables. Así que si el observables toma un conjunto ilimitado de valores, el espectro de $\sigma(A)$ debe ser un ilimitado subconjunto de $\mathbb R$.
En segundo lugar, si $A$ es un uno mismo-adjoint operador (más en general, un operador habitual), el resultado importante es verdadera: $$||A|| = \sup\{ |\lambda| \:|\: \lambda \in \sigma(A)\}$$ incluyendo la unbounded casos donde ambas partes se $+\infty$ simultáneamente.
Por lo tanto, si un observable, como $p$ o $x$ o el momento angular, toma un conjunto ilimitado de valores, la auto-adjuntos representan necesariamente ha de ser sin límites (y, por tanto, se define en una adecuada densa subespacio del espacio de Hilbert).
