En la geometría clásica por qué es una línea que se considera para ser paralelo a sí mismo?

Question

Una definición clásica de la geometría (por ejemplo, Birkhoff de la formulación, pero supongo que podría ser todos ellos) es que una línea, se considerará siempre paralelo a sí mismo. Entiendo que esto es probablemente por comodidad, pero en mi mente ya que dos líneas son paralelas si no tienen puntos en común y una línea infinitamente muchos puntos en común con la misma. Quizás la idea es facilitar la definición que de los dos (no paralelas) las líneas se cruzan en un solo punto?

P: ¿Cuál es el propósito/¿qué inconveniente habría causado si no tuviéramos esa definición?

Answer 1

La idea es que "en paralelo" para definir clases de equivalencia (llamado "lápices", cf. Coxeter, Geometría Proyectiva, y Artin, Álgebra Geométrica), que requieren de la definición de la relación es una relación de equivalencia: reflexiva, simétrica y transitiva. Esas clases, a continuación, tiene algunos ingeniosos usos, como la definición proyectiva del espacio mediante la adición de un punto en el infinito para cada lápiz (que es el que se consideran en cada una de esas líneas) y una línea en el infinito para cada clase de planos paralelos (esta línea que contenga todos los puntos en el infinito correspondiente a los lápices de las líneas en que la clase de los aviones).

También, ya se va a tener que repensar la definición de "paralelo" como no tener puntos en común, si usted va a hacer la geometría sólida. Líneas paralelas también deben ser coplanares...es decir, se necesitan otras dos líneas que se cruzan entre sí y que cada uno se cruzan las líneas paralelas (cinco distintos puntos de intersección). Las líneas que no son coplanares son llamados "skew" no "en paralelo".

Answer 2

Si dos líneas son ambas paralelas a una tercera línea, deben ser paralelas entre sí, aunque sean de la misma línea.

Answer 3

Esto también es muy natural cuando a partir de la definición de un espacio métrico:

Dos líneas de $a$ $b$ son paralelas si para cada punto de $p\in a$, la distancia de $p$ $b$es el mismo.

A continuación, $a$ es paralelo a sí mismo debido a que para cada punto de $p\in a$, la distancia a $a$ es cero.

Answer 4

Es un útil ?) convención.

Según Euclides de la definición original de dos líneas paralelas debe ser diferente:

Definición 23. Rectas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano y se producen indefinidamente en ambas direcciones, no se encuentran una a otra en cualquier dirección.

Así, el paralelismo no es reflexiva.

Lo mismo con Hilbert de la versión :

Axioma III. En un avión $\alpha$ no puede ser trazada a través de cualquier punto de $A$, que quedan fuera de línea recta $a$, una y sólo una línea recta, que no se cruza la línea de $a$. Esta recta se denomina paralelo a $a$ a través del punto dado,$A$.

Podemos comparar con Birkhoff de la definición :

En consecuencia del Postulado II, cualquiera de las dos líneas distintas $l, m$ tienen un punto en común o ninguno. En el primer caso se dice que se cruzan en su punto en común; en el segundo caso, se dice que son paralelas; una línea de $l$ es siempre considerado como paralelo a sí mismo.

Answer 5

En .. "paralelas" a las respuestas ya dadas, la definición de que una línea es paralela a sí misma tiene la ventaja de coincidir, en la algebraicas lado, la distinción de los sistemas lineales basados en la matriz de coeficientes y el total de la matriz.

Entonces definimos en paralelo las líneas para las que la matriz de coeficientes tiene rango $1$ ( por lo tanto tienen paralelo vectores normales), y luego nos distinguen como "distante" (no hay solución) o la "misma"(infinito sol.) según el ranking de el total de.